§ 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Развитие понятия о числе подробно изложено в главе I (том 1). Здесь мы дадим читателю беглое представление о теориях действительных чисел, которые возникли в XIX в. в связи с обоснованием основных понятий анализа.

Рациональные числа.

Мы предполагаем, что читатель знаком с основными свойствами рациональных чисел. Не вдаваясь в подробности, напомним эти свойства. Рациональные числа, т. е. числа вида где — целые и представляют собою множество чисел, в котором определены две операции (сложение и умножение). Эти операции подчиняются ряду законов (аксиом). В дальнейшем обозначают рациональные числа.

I. Аксиомы сложения.

3) уравнение

имеет единственное решение (существование обратной операции).

Из этих аксиом непосредственно вытекает, что имеет однозначный смысл выражение , что существует рациональное число О (нуль), для которого , и что для сложения существует обратная операция — вычитание, так что имеет смысл выражение

Таким образом, с алгебраической точки зрения, по отношению к операции сложения все рациональные числа образуют коммутативную группу.

II. Аксиомы умножения.

(коммутативность),

(ассоциативность),

3) уравнение

где а 0, имеет единственное решение (существование обратной операции).

Из этих аксиом вытекает, что имеет смысл выражение что существует рациональное число 1, для которого а и что для рациональных чисел, отличных от 0, существует обратная операция — деление. Все рациональные числа, исключая число 0, образуют коммутативную группу по отношению к операции умножения.

III. Аксиома дистрибутивности.

Все аксиомы I—III показывают, что по отпошению к операциям сложения и умножения рациональные числа образуют так называемое алгебраическое поле.

IV. Аксиомы упорядоченности.

1) Для любых двух рациональных чисел а и имеет место одно и только одно из трех соотношений: либо а либо а либо

2) Если , то

3) Если то (монотонность сложения).

4) Если а то (монотонность умножения на

Все эти аксиомы позволяют назвать множество рациональных чисел упорядоченным полем.

Кроме рациональных чисел, существуют и другие системы объектов, которые удовлетворяют этим аксиомам и, следовательно, являются упорядоченными полями.

Отметим два важных свойства рациональных чисел.

Плотность: для любых а и найдется такое с, что а

Счетность: множество всех рациональных чисел счетно(см. § 2).