Множества мощности континуума.

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества М и точками отрезка то говорят, что множество М имеет мощность континуума. В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точен любого интервала и всей числовой прямой имеют мощность континуума.

Рис. 1.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата 0 у 1 имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.