Одно вспомогательное предложение.

Пусть теперь — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке . Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции А и В точками на отрезки длины меньшей , где — произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке

то положим в этой точке

а если в точке х

то положим

Построение функции показано на рис. 3.

Согласно построению функции в любой точке отрезка

Кроме того, так как функция принимает лишь конечное число значений то ее можно записать в виде

где — характеристическая функция того множества, где (в каждой точке лишь одно слагаемое в правой части формулы (7) отлично от нуля!) Этим наше предложение установлено.

Рис. 3.

Определение интеграла Лебега. Переходим к определению интеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция мало отличается от функции то в качестве приближенного значения интеграла от функции можно прииять интеграл от функции Но, замечая, что функции являются характеристическими функциями множеств, и пользуясь формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем

где есть мера множества тех х, для которых

Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции является «интегральная сумма Лебега»

В соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега , когда

что соответствует равномерной сходимости функций к функции .

Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т. е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.