Принципы непрерывности.

Между множеством всех рациональных чисел и множеством всех действительных чисел имеется существенное различие. Именно, совокупность всех действительных чисел обладает рядом свойств, характеризующих непрерывность этого множества, в то время как множество всех рациональных чисел такими свойствами не обладает. Эти свойства принято называть принципами непрерывности. Перечислим здесь важнейшие из них.

Принцип Дедекинда. Если множество всех действительных чисел разбито на два непустых множества X и без общих элементов, так что для любых выполняется неравенство то существует единственное число (рубеж), для которого для любых Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам называется отрезком числовой прямой и обозначается через Система отрезков называется стягивающейся, если

Припцип Кантора. Для любой стягивающейся системы отрезков существует одно и только одно действительное число принадлежащее каждому из этих отрезков.

Принцип Вейерштрасса. Всякая неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел сходится.

Будем говорить, что последовательность действительных чисел фундаментальна, если для любого найдется такое натуральное число что для всех и всех натуральных

Принцип Коши. Всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится.

Поскольку мы не провели аккуратного построения действительных чисел, мы не имеем возможности установить, что для множества действительных чисел выполняются эти принципы. Наша ближайшая цель — рассмотреть, как эти принципы связаны друг с другом. Именно, допустим, что для действительных чисел имеет место один ил принципов непрерывности, и исследуем, какие из остальных принципов непрерывности вытекают отсюда.

Общий вывод, к которому мы придем, это — что все принципы непрерывности эквивалентны.

Будем говорить, что число является верхней гранью множества Е

если для любого и 2) не существует числа обладающего тем же свойством.

Покажем, что из принципа Дедекиида вытекает следующее предложение: каждое непустое ограниченное сверху множество чисел Е имеет верхнюю грань. В самом деле, разобьем все действительные числа на два класса X и по следующему признаку: положим если существует такое что и положим если для любого имеем Легко проверить, что это — сечение. Согласно принципу Дедекинда, оно имеет рубеж ?; этот рубеж и будет верхней гранью множества Е.

Покажем теперь, что из принципа Дедекинда вытекает принцип Вейерштрасса. Пусть — неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел. По только что доказанному она имеет верхнюю грань Н. Согласно определению верхней грани для любого найдется номер такой, что В силу монотонности последовательности отсюда вытекает, что — для всех т. е. последовательность сходится и имеет предел .

Для доказательства обратного соотношения между принципами Дедекиида и Вейерштрасса отметим, что из принципа Вейерштрасса вытекает так называемый

Принцип Архимеда. Каковы бы ни были действительные числа и можно найти такое натуральное число что

Этот принцип означает, что для любого действительного числа последовательность сходится к нулю.

Допустим, что выполняется принцип Вейерштрасса и не выполняется принцип Архимеда. Последнее означает, что существует такое

что последовательность ограничена. Кроме того, она возрастающая. По принципу Вейерштрасса она имеет некоторый предел . Отсюда вытекает, что отрезок содержит некоторую точку нашей последовательности. Но тогда а что противоречит тому, что есть верхняя грапь

Из принципа Вейерштрасса вытекает принцип Дедекинда. Пусть множество всех действительных чисел разбито на сумму двух непересекающихся множеств X и Y, так что для любых Покажем, что это сечение имеет единственный рубеж . Пусть — целое, — натуральное. Обозначим через наибольший элемент вида так что Так как множество элементов вида содержится в множестве элементов вида то Кроме того, последовательность ограничена (например, числом Отсюда по принципу Вейерштрасса она имеет некоторый предел . Докажем, что и есть рубеж нашего сечения. Действительно, если то Если же то так как из принципа Архимеда вытекает, что найдется такой номер что Но а тогда и, следовательно,

Можно также установить, что принципы Кантора и Коши эквивалентны. Однако из выполнения, например, принципа Коши еще не вытекает, что выполняется принцип Дедекинда. Это утверждение надо понимать в следующем смысле: существует упорядоченное поле, для которого принцип Коши выполняется, а принцип Дедекинда не выполняется. Если же заранее предположить, что выполняется принцип Архимеда, то все четыре принципа эквивалентны.

Несчетность континуума. Покажем, что множество всех точек отрезка несчетно. Докажем это предложение от противного.

Предположим, что множество всех точек отрезка счетно. Тогда все точки х этого отрезка можно занумеровать при помощи натуральных чисел

Выберем на отрезке [0,1] отрезок так, чтобы его длина была меньше, чем 1, и чтобы он не содержал точки Такой отрезок наверняка найдется. Далее, внутри отрезка выберем отрезок так, чтобы длина была меньше, чем у, и чтобы отрезок не содержал точек Вообще, после того как выбран отрезок мы выбираем в нем отрезок так, чтобы длина его была меньше; чем и чтобы

отрезок не содержал точек Мы построим таким образом бесконечную последовательность отрезков

такую, что каждый последующий отрезок содержится в предшествующем и длины отрезков стремятся к нулю с возрастанием . Тогда в силу принципа Кантора (см. стр. 15) существует единственная точка х отрезка [0, 1], принадлежащая всем отрезкам Так как, по нашему предположению, все точки отрезка [0, 1] записаны в ряду (1), то и точка х, общая всем отрезкам совпадает с какой-то точкой этого ряда. Но по построению уже отрезок не содержит точки и, следовательно, . Таким образом, мы пришли к противоречию. Поэтому исходное предположение о счетности множества всех точек отрезка [0, 1] ложно, и, значит, множество всех точек отрезка несчетно, что и требовалось доказать.

Эта теорема показывает, что существуют различные бесконечные мощности, и, следовательно, дает положительный ответ на первый из вопросов, поставленных на стр. 8.