Однородные системы.

Однородную систему линейных уравнений

мы будем интерпретировать в -мерном эвклидовом пространстве. (Тем самым мы предполагаем, что коэффициенты системы действительные. Для систем с комплексными коэффициентами можно дать аналогичную интерпретацию в унитарном пространстве, причем получатся аналогичные результаты).

Пусть — векторы эвклидова пространства, координатами которых в некотором ортонормальном базисе являются соответственно

Тогда система принимает вид

т. е. каждое решение системы определяет вектор, ортогональный ко всем векторам, интерпретирующим коэффициенты отдельных уравнений.

Следовательно, множество решений образует подпространство, ортогонально-дополнительное к подпространству, натянутому на векторы . Размерность последнего подпространства равна рангу матрицы, составленной из коэффициентов системы. Размерность же ортогонального дополнения, т. е. «пространства решений», равна

Во всяком подпространстве существует базис, т. е. система линейно-независимых векторов, в числе, равном размерности подпространства, линейными комбинациями которых заполняется все подпространство. Следовательно, среди решений однородной системы существует линейно-независимых решений, таких, что все решения системы являются их линейными комбинациями. Здесь обозначает число неизвестных, — ранг матрицы из коэффициентов.

Таким образом, строение решений однородной системы, а следовательно, и неоднородной, выяснено до конца. В частности, однородная система имеет единственное тривиальное решение в том и только в том случае, если ранг матрицы из коэффициентов равен числу неизвестных. В силу сказанного в конце предыдущего пункта, то же условие (при выполнении условия совместности) является условием единственности решения и для системы неоднородных уравнений.

Исследования систем, проведенные нами, наглядно показывают, как введение обобщенных геометрических понятий вносит простоту и обозримость в сложный алгебраический вопрос.