Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Теперь, используя аппарат определителей, легко обобщить результаты, полученные ранее для систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными, на системы уравнений с неизвестными в предположении, что определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля.

Пусть

такая система. Обозначим через определитель матрицы коэффициентов системы. Он, по предположению, отличен от нуля. Далее, через обозначим алгебраическое дополнение элемента Умнояшм первое уравнение на , второе — на и сложим. Получим

Действительно, коэффициенты при всех неизвестных, кроме обращаются в 0, ибо они представляют собой суммы произведений алгебраических

дополнений элементов столбца на элементы других столбцов (свойство 6, примененное к столбцам); коэффициент же при неизвестном равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения, т. е. равен

Таким образом,

Как уже говорилось выше, приведенные рассуждения осмыслены только в случае, если под подразумевать решение системы, существование которого тем самым необходимо предполагать.

Таким образом, результатом рассуждения явилось следующее.

Если решение системы существует, то оно дается формулами (6) и тем самым единственно.

Для полноты изложения необходимо доказать существование решения, что достигается подстановкой найденных значений для неизвестных во все уравнения исходной системы. Легко убедиться, используя то же свойство определителя (в применении к строкам), что найденные значения действительно удовлетворяют всем уравнениям.

Итак, верна следующая теорема: если определитель матрицы коэффициентов системы уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, даваемое формулами (6).

Эти формулы можно еще преобразовать, заметив, что сумму можно записать в виде определителя, именно:

(свободные члены находятся в столбце).

Таким образом, результаты, изложенные выше для систем уравнений с двумя и тремя неизвестными, полностью обобщены на систему уравнений и даже формулы для решения получаются совершенно такими же по форме.

Отметим одно следствие из доказанной теоремы:

Если относительно системы уравнений заведомо известно, что она совсем не имеет решения или решение не единственно, то определитель матрицы из коэффициентов равен нулю.

Это следствие особенно часто применяется к однородным системам, т. е. таким, в которых свободные члены все равны нулю. Однородные системы всегда имеют само собой разумеющееся «тривиальное» решение

Если же, однородная система имеет, кроме тривиального, еще нетривиальное решение, то ее определитель равен нулю.

Это утверждение открывает возможность использовать теорию определителей в других разделах математики и в ее приложениях.

Рассмотрим, например, задачу из аналитической геометрии.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки не лежащие на одной прямой.

Из элементарной геометрии известно, что искомая плоскость существует. Пусть ее уравнение имеет вид Тогда

Пусть x, у, z — координаты любой точки, лежащей на плоскости. Тогда и

Рассмотрим эти четыре уравнения как систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов А, В, С, D искомой плоскости. Эта система имеет нетривиальное решение, ибо искомая плоскость существует. Следовательно, определитель системы равен нулю, т. е.

Это и есть уравнение искомой плоскости. Действительно, оно есть уравнение 1-й степени относительно х, что следует из линейности определителя относительно элементов последней строки.

Используя то, что данные точки не лежат на одной прямой, нетрудно проверить, что не все его коэффициенты равны нулю. Следовательно, равенство (7) есть действительно уравнение плоскости. Плоскость эта проходит через данные точки, ибо координаты их, очевидно» удовлетворяют ее уравнению.