§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ

Определение и примеры ортогональных систем, функций.

Если на плоскости выбрать какие-нибудь два взаимно перпендикулярных вектора единичной длины (рис. 7), то произвольный вектор в той же плоскости можно разложить по направлениям этих двух векторов, т. е. представить его в виде

где — числа, равные проекциям вектора на направления осей Так как проекция на ось равна произведению длины на косинус угла с осью, то, вспоминая определение скалярного произведения, мы можем написать

Аналогично, если в трехмерном пространстве выбрать какие-нибудь три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины, то произвольный векторов этом пространстве можно представить в виде

где

Рис. 7.

В гильбертовом пространстве также можно рассматривать системы попарно ортогональных векторов этого пространства, т. е. функций

Такие системы функций называются ортогональными системами функций и играют большую роль в анализе. Они встречаются в самых различных вопросах математической физики, интегральных уравнений, приближенных вычислений, теории функций действительного переменного и т. п. Упорядочение и объединение понятий, относящихся к таким системам, были одним из стимулов, приведших в начале XX в. к созданию общего понятия гильбертова пространства.

Дадим точные определения. Система функций

называется ортогональной, если любые две функции этой системы ортогональны между собой, т. е. если

В трехмерном пространстве мы требовали, чтобы длины векторов системы равнялись единице. Вспомнив определение длины вектора, мы видим, что в случае гильбертова пространства это требование записывается так:

Система функций, удовлетворяющая требованиям (13) и (14), называется ортогональной и нормированной.

Приведем примеры таких систем функций.

1. На интервале рассмотрим последовательность функций

Каждые две функции из этой последовательности ортогональны между собой. Это проверяется простым вычислением соответствующих интегралов. Квадрат длины вектора в гильбертовом пространстве есть интеграл от квадрата функции. Таким образом, квадраты длин векторов последовательности

суть интегралы

т. e. последовательность наших векторов ортогональна, но не нормирована. Длина первого вектора последовательности равна а все

остальные имеют длину . Поделив каждый вектор на его длину, мы получим ортогональную и нормированную систему тригонометрических функций

Эта система является исторически одним из первых и наиболее важных примеров ортогональных систем. Она возникла в работах Эйлера, Д. Бернулли, Даламбера в связи с задачей о колебаниях струны. Ее изучение сыграло существенную роль в развитии всего анализа.

Появление ортогональной системы тригонометрических функций в связи с задачей о колебаниях струны не случайно. Каждая задача о малых колебаниях среды приводит к некоторой системе ортогональных функций, описывающих так называемые собственные колебания данной системы (см. § 4). Например, в связи с задачей о колебаниях сферы появляются так называемые сферические функции, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны или цилиндра появляются так называемые цилиндрические функции и т. д.

2. Можно привести пример ортогональной системы функций, каждая функция которой является многочленом. Таким примером является последовательность многочленов Лежандра

т. е. есть (с точностью до постоянного множителя) производная порядка от . Выпишем первые несколько многочленов этой последовательности:

Очевидно, что вообще есть многочлен степени. Мы предоставляем читателю самому убедиться, что эти многочлены представляют собой ортогональную последовательность на интервале

Общую теорию ортогональных многочленов (так называемые ортогональные многочлены с весом) развил замечательный русский математик П. Л. Чебышев во второй половине XIX в.

Разложение по ортогональным системам функций. Подобно тому как в трехмерном пространстве каждый вектор можно представить

в виде линейной комбинации трех попарно ортогональных векторов единичной длины

в функциональном пространстве возникает задача о разложении произвольной функции в ряд по ортогональной и нормированной системе функций, т. е. о представлении функции в виде

При этом сходимость ряда (15) к функции понимается в смысле расстояния между элементами в гильбертовом пространстве. Это значит, что среднее квадратичное уклонение частичной суммы ряда от функции стремится к нулю при , т. е.

Такая сходимость называется обычно «сходимостью в среднем».

Разложения по тем или иным системам ортогональных функций часто встречаются в анализе и являются важным методом для решения задач математической физики. Так, например, если ортогональная система есть система тригонометрических функций на интервале

то такое разложение есть классическое разложение функции в тригонометрический ряд

Предположим, что разложение (15) возможно для любой функции из гильбертова пространства, и найдем коэффициенты такого разложения. Для этого умножим обе части равенства скалярно на одну и ту же функцию нашей системы. Мы получим равенство

из которого в силу того, что при определяется значение коэффициента

Мы видим, что, как и в обычном трехмерном пространстве (см. начало этого параграфа), коэффициенты равны проекциям вектора на направления векторов .

Вспоминая определение скалярного произведения, получаем, что коэффициенты разложения функции по ортогональной и нормированной системе функций

определяются по формулам

В качестве примера рассмотрим ортогональную нормированную тригонометрическую систему функций, приведенную выше:

Тогда

где

Мы получили формулу для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд в предположении, конечно, что это разложение возможно.

Мы установили вид коэффициентов разложения (18) функции по ортогональной системе функций в предположении, что такое разложение имеет место. Однако бесконечная ортогональная система функций может оказаться недостаточной для того, чтобы по ней можно было разложить любую функцию из гильбертова про странства. Чтобы такое разложение было возможно, система ортогональных функцийдолжна удовлетворять дополнительному условию — так называемому условию полноты.

Ортогональная система функций называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной, не равной тождественно нулю функции, ортогональной ко всем функциям системы.

Легко привести пример неполной ортогональной системы. Для этого возьмем какую-нибудь ортогональную систему, например ту же

систему тригонометрических функций, и исключим одну из функций этой системы, например Оставшаяся бесконечная система функций

будет по прежнему ортогональной, конечно, не будет полной, так как исключенная нами функция : ортогональна ко всем функциям системы.

Если система функций не полна, то не всякую функцию из гильбертова пространства можно по ней разложить. Действительно, если мы попытаемся разложить по такой системе нулевую функцию ортогональную ко всем функциям системы, то, в силу формул (18), все коэффициенты окажутся равными нулю, в то время как функция не равна нулю.

Имеет место следующая теорема: если задана полная ортогональная и нормированная система функций в гильбертовом пространстве то всякую функцию можно разложить в ряд по функциям этой системы

При этом коэффициенты разложения равны проекциям векторов на элементы ортогональной нормированной системы

Имеющаяся в § 2 теорема Пифагора в гильбертовом пространстве позволяет найти интересное соотношение между коэффициентами и функцией Обозначим через разность между и суммой первых членов ее ряда, т. е.

Функция ортогональна к . Действительно, проверим, что она ортогональна к , т. е. что Мы имеем

Так как то отсюда следует, что

Итак, в равенстве

отдельные слагаемые правой части ортогональны между собой. Значит, в силу теоремы Пифагора, сформулированной в § 2, квадрат длины вектора равен сумме квадратов длин слагаемых правой части равенства (19), т. е.

Так как система функций нормирована [равенство (14)], то

Ряд сходится в среднем. Это значит, что

т. е., что

Но тогда из формулы (20) мы получаем равенство

утверждающее, что интеграл квадрата функции равен сумме квадратов коэффициентов ее разложения по замкнутой ортогональной системе функций. Условие (21), если оно имеет место для любой функции из гильбертова пространства, называется условием полноты.

Обратим внимание еще на следующее важное обстоятельство. Какие числа могут служить коэффициентами разложения функции из гильбертова пространства?

Равенство (21) утверждает, что для этого должен сходиться ряд Оказывается, что этого условия достаточно, т. е. для того, чтобы последовательность

чисел была последовательностью коэффициентов разложения по ортогональной системе функций гильбертова пространства, необходимо и достаточно, чтобы создался ряд

Заметим, что эта существенная теорема имеет место, если определить гильбертово пространство как совокупность всех функций с ивтегрируемым квадратом в смысле Лебега (см. § 2, стр. 223). Если в гильбертовом пространстве ограничиться только, например, непрерывными функциями, то решение вопроса о том, какие числа а могут служить коэффициентами разложения, было бы ненужным образом весьма усложнено.

Приведенные здесь соображения являются лишь одной из причин, приведших к необходимости использовать при определении гильбертова пространства интегралы в обобщенном (по Лебегу) смысле.