Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙОпределение и примеры ортогональных систем, функций.Если на плоскости выбрать какие-нибудь два взаимно перпендикулярных вектора
где
Аналогично, если в трехмерном пространстве выбрать какие-нибудь три взаимно перпендикулярных вектора
где
Рис. 7. В гильбертовом пространстве также можно рассматривать системы попарно ортогональных векторов этого пространства, т. е. функций Такие системы функций называются ортогональными системами функций и играют большую роль в анализе. Они встречаются в самых различных вопросах математической физики, интегральных уравнений, приближенных вычислений, теории функций действительного переменного и т. п. Упорядочение и объединение понятий, относящихся к таким системам, были одним из стимулов, приведших в начале XX в. к созданию общего понятия гильбертова пространства. Дадим точные определения. Система функций
называется ортогональной, если любые две функции этой системы ортогональны между собой, т. е. если
В трехмерном пространстве мы требовали, чтобы длины векторов системы равнялись единице. Вспомнив определение длины вектора, мы видим, что в случае гильбертова пространства это требование записывается так:
Система функций, удовлетворяющая требованиям (13) и (14), называется ортогональной и нормированной. Приведем примеры таких систем функций. 1. На интервале
Каждые две функции из этой последовательности ортогональны между собой. Это проверяется простым вычислением соответствующих интегралов. Квадрат длины вектора в гильбертовом пространстве есть интеграл от квадрата функции. Таким образом, квадраты длин векторов последовательности
суть интегралы
т. e. последовательность наших векторов ортогональна, но не нормирована. Длина первого вектора последовательности равна остальные имеют длину
Эта система является исторически одним из первых и наиболее важных примеров ортогональных систем. Она возникла в работах Эйлера, Д. Бернулли, Даламбера в связи с задачей о колебаниях струны. Ее изучение сыграло существенную роль в развитии всего анализа. Появление ортогональной системы тригонометрических функций в связи с задачей о колебаниях струны не случайно. Каждая задача о малых колебаниях среды приводит к некоторой системе ортогональных функций, описывающих так называемые собственные колебания данной системы (см. § 4). Например, в связи с задачей о колебаниях сферы появляются так называемые сферические функции, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны или цилиндра появляются так называемые цилиндрические функции и т. д. 2. Можно привести пример ортогональной системы функций, каждая функция которой является многочленом. Таким примером является последовательность многочленов Лежандра
т. е.
Очевидно, что вообще Общую теорию ортогональных многочленов (так называемые ортогональные многочлены с весом) развил замечательный русский математик П. Л. Чебышев во второй половине XIX в. Разложение по ортогональным системам функций. Подобно тому как в трехмерном пространстве каждый вектор можно представить в виде линейной комбинации трех попарно ортогональных векторов
в функциональном пространстве возникает задача о разложении произвольной функции
При этом сходимость ряда (15) к функции
Такая сходимость называется обычно «сходимостью в среднем». Разложения по тем или иным системам ортогональных функций часто встречаются в анализе и являются важным методом для решения задач математической физики. Так, например, если ортогональная система есть система тригонометрических функций на интервале
то такое разложение есть классическое разложение функции в тригонометрический ряд
Предположим, что разложение (15) возможно для любой функции
из которого в силу того, что
Мы видим, что, как и в обычном трехмерном пространстве (см. начало этого параграфа), коэффициенты Вспоминая определение скалярного произведения, получаем, что коэффициенты разложения функции
определяются по формулам
В качестве примера рассмотрим ортогональную нормированную тригонометрическую систему функций, приведенную выше:
Тогда
где
Мы получили формулу для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд в предположении, конечно, что это разложение возможно. Мы установили вид коэффициентов разложения (18) функции Ортогональная система функций называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной, не равной тождественно нулю функции, ортогональной ко всем функциям системы. Легко привести пример неполной ортогональной системы. Для этого возьмем какую-нибудь ортогональную систему, например ту же систему тригонометрических функций, и исключим одну из функций этой системы, например
будет по прежнему ортогональной, Если система функций не полна, то не всякую функцию из гильбертова пространства можно по ней разложить. Действительно, если мы попытаемся разложить по такой системе нулевую функцию Имеет место следующая теорема: если задана полная ортогональная и нормированная система функций в гильбертовом пространстве
При этом коэффициенты
Имеющаяся в § 2 теорема Пифагора в гильбертовом пространстве позволяет найти интересное соотношение между коэффициентами
Функция
Так как Итак, в равенстве
отдельные слагаемые правой части ортогональны между собой. Значит, в силу теоремы Пифагора, сформулированной в § 2, квадрат длины вектора
Так как система функций
Ряд
т. е., что
Но тогда из формулы (20) мы получаем равенство
утверждающее, что интеграл квадрата функции равен сумме квадратов коэффициентов ее разложения по замкнутой ортогональной системе функций. Условие (21), если оно имеет место для любой функции из гильбертова пространства, называется условием полноты. Обратим внимание еще на следующее важное обстоятельство. Какие числа Равенство (21) утверждает, что для этого должен сходиться ряд чисел Заметим, что эта существенная теорема имеет место, если определить гильбертово пространство как совокупность всех функций с ивтегрируемым квадратом в смысле Лебега (см. § 2, стр. 223). Если в гильбертовом пространстве ограничиться только, например, непрерывными функциями, то решение вопроса о том, какие числа а могут служить коэффициентами разложения, было бы ненужным образом весьма усложнено. Приведенные здесь соображения являются лишь одной из причин, приведших к необходимости использовать при определении гильбертова пространства интегралы в обобщенном (по Лебегу) смысле.
|
1 |
Оглавление
|