§ 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными выглядит в общем виде так:

Для решения этой системы умножим первое уравнение на , второе на и сложим. Получим

Аналогичным образом, умножив первое уравнение на второе на а, и сложив, получим

Из этих равенств легко определяются х и у, если только выражение оказывающееся коэффициентом при неизвестных отлично от пуля. Это выражение называется определителем матрицы образованной коэффициентами системы. Определитель обозначается так: . Из данного определения следует, что определитель вычисляется по схеме

не требующей дальнейших пояснений.

Вернемся к решению системы. Выражения согласно данному определению, тоже представляют собой определители, именно:

Таким образом, если определитель отличен от пуля, мы получаем следующие формулы для решения системы:

Строго говоря, проведенные рассуждения не полны. Действия над уравнениями, которые мы производили при выводе формул для решения системы, были осмыслены только в предположении, что х и у уже представляют собой числа, образующие решение системы. Логическая сущность проведенного рассуждения такова: если определитель из коэффициентов системы но равен нулю и решение системы существует, то оно вычисляется по формулам (4). Поэтому еще необходимо установить, что найденные значения для неизвестных действительно удовлетворяют обоим уравнениям системы. Это делается без труда.

Итак, если определитель матрицы из коэффициентов системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое дается формулами (4).

Для системы трех уравнений с тремя неизвестными

нетрудно провести аналогичные рассуждения выкладки — для этого достаточно сложить уравнения, умножив их предварительно на такие множители, чтобы после сложения уничтожались сразу два неизвестных. В качестве множителей для уничтожения неизвестных у и z следует взять что легко проверить вычислением.

В результате получится, что если выражение

отлично от пуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам

где — выражения, получающиеся из А посредством замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами. Выражение А называется определителем матрицы

и обозначается через

Для вычисления определителя удобна следующая схема:

На первой из этих схем соединены линиями (диагональ и два треугольника) места, где находятся элементы, произведения которых входят в состав определителя со знаком плюс; на второй схеме — то же для слагаемых, входящих в состав определителя со знаком минус.

Мы получили для систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными совершенно сходные результаты. В обоих случаях система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля. Формулы для решений тоже аналогичны: в знаменателе каждой из неизвестных находится определитель матрицы коэффициентов, а в числителях — определители матриц, получающихся из матриц коэффициентов заменой коэффициентов при вычисляемой неизвестной свободными членами.

Непосредственное обобщение этих результатов на системы уравнений с неизвестными при любом затруднительно. Это сравнительно легко удается сделать косвенными средствами: сперва обобщить понятие определителя на квадратные матрицы любого порядка и, изучив свойства определителей, применить их теорию к исследованию систем.