Приложение к теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

В теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений целесообразно рассматривать матрицы, элементы которых являются функциями от некоторой независимой переменной:

Для таких матриц естественным образом определяется понятие производной по аргументу Именно:

Нетрудно проверить, что для матриц справедливы некоторые элементарные формулы дифференцирования. Так

(Умножать нужно строго в том порядке, какой дан в формуле!)

Система обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений

в этих обозначениях может быть записана в виде

где

т. е. в форме, аналогичной одному линейному однородному дифференциальному уравнению.

Если коэффициенты системы постоянные, т. е. матрица А постоянная, то и решение системы внешне выглядит так же, как решение уравнения Именно, в этом случае где С — столбец из произвольных постоянных.

Решение в этой форме очень удобно для исследования. Дело в том, что для любой аналитической функции имеет место равенство

Так как любую матрицу можно привести к канонической форме Жордана (см. § 4), то вычисление функции от любой матрицы сводится к вычислению функции от канонической матрицы, что легко осуществить. Поэтому если где — каноническая матрица, то

где — столбец из произвольных постоянных.

Из этой формулы нетрудно получить явное выражение для всех составляющих искомого столбца

Советский ученый И. А. Лаппо-Данилевский с успехом развил аппарат теории функций от матриц и впервые применил его к исследованию систем также и с переменными коэффициентами. Его результаты принадлежат к числу наиболее блестящих достижений математики за последние пятьдесят лет.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)