Линейная зависимость и независимость векторов.

Перейдем теперь к важному понятию линейной зависимости и независимости векторов.

Линейной комбинацией векторов называется вектор при некоторых численных значениях коэффициентов ст. Если среди векторов найдется

хотя бы один, являющийся липейпой комбинацией остальных, то векторы называются линейно-зависимыми. Если же ни один из векторов не является линейной комбинацией остальных, то векторы называются линейно-независимыми;

Легко видеть, что для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы соотношение выполнялось только при

Для векторов в обычном трехмерном пространств понятия линейной зависимости и независимости имеют простой геометрический смысл.

Пусть имеются два вектора Линейная зависимость их означает, что один из векторов является «линейной комбинацией» другого, т. е. просто отличается от него численным множителем. Ото значит, что оба вектора укладываются на общей прямой, т. о. они имеют одинаковое или противоположное направление.

Обратно, если два вектора укладываются на одной прямой, то они линейно зависимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов означает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую; их направления существенно различны.

Рассмотрим теперь, что означает линейная зависимость независимость трех векторов. Допустим, что векторы лнпейно-зависимы, и положим для определенности, что вектор является линейной комбинацией векторов А, и Тогда очевидно, расположен в плоскости, содержащей векторы т. е. все три вектора укладываются на одной плоскости. Легко видеть, что если векторы лежат в одной плоскости, то линейно-зависимы. Действительно, если векторы не лежат на одной прямой, то можно разложить по А, и т. е. представить в виде линейной комбинации Если же лежат на одной прямой, то уже линейно-зависимы.

Итак, линейная зависимость трех векторов равносильна тому, что они лежат в одной плоскости. Следовательно, линейно-независимы в том и только в том случае, если они не укладываются на одной плоскости.

Четыре вектора в трехмерном пространстве всегда липейно-зависимы. Действительно, если векторы линейно-зависимы, то: при любом векторы тоже линейно-зависимы. Кели же линейно-независимы, то они не лежат в одной плоскости и любой вектор можно разложить по т. е. представить, в виде их линейной комбинации.

Проведенные рассуждения можно обобщить следующим образом.

В трехмерном пространстве векторы линейно-зависимы в том и только в том случае, если они укладываются в пространство (прямая или плоскость) с числом измерений, меньшим к.

В дальнейшем, после строгого определения подпространства и размерности, мы увидим, что и в общем случае линейная зависимость векторов равносильна тому, что они укладываются в пространство, размерность которого меньше к, т. е. «геометрический» смысл линейной зависимости остается тот же самый, что для векторов в трехмерном пространстве.

В теории линейных пространств играет существенную роль следующая теорема. Если векторы являются линейными комбинациями векторов то векторы линейно-зависимы (теорема о линейной зависимости линейных комбинаций).

Для теорема очевидна. Для теорема легко доказывается методом математической индукции по числу к.