Верхняя и нижняя грань множества.

Пусть множество Е ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки .4, правее которых нет ни одной точки множества Е. Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек А, обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества Е. Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.

Если во множестве Е есть самая правая точка, то она, очевидно, а будет верхней гранью множества Е. Одпако может случиться, что во множестве Е нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами

ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань а не принадлежит множеству Е, но сколь угодно близко к а имеются точки множества Е. В приведенном выше примере .