Об измерении величин.

Недостаточность одних лишь рациональных чисел для математики проявляется уже при рассмотрении такой важной задачи, как задача об измерении величин. Мы рассмотрим ее на простейшем примере задачи об измерении длин отрезков.

Представим себе прямую, на которой отмечены определенное направление, начало отсчета (точка 0) и единица масштаба. Тогда понятно, что такое отрезок ОА с концом в точке Вообще, каждому рациональному числу а можно поставить в соответствие точку А на прямой, а именно точку с координатой

. В таком случае число а определяет длину направленного отрезка О А. Однако при такой конструкции длина не всякого отрезка измеряется некоторым (рациональным) числом. Например, как это было известно уже древним грекам, длина диагонали квадрата со стороной, равной единице, не измеряется никаким рациональным числом. Иначе говоря, точек на прямой больше, чем рациональных точек. Естественный выход из этого положения — установление взаимно однозначного соответствия между числами и длинами, т. е. дальнейшее расширение понятия числа.