Связь функционального анализа с другими разделами математики и квантовой механикой.

Мы уже упоминали выше, что создание квантовой механики явилось решающим моментом в развитии функционального анализа.

Так же, как возникновение дифференциального и интегрального исчисления в XVIII в. диктовалось потребностями механики и классической физики, развитие функционального анализа происходило и происходит под сильнейшим влиянием современной физики, главным образом, квантовой механики. Основным математическим аппаратом квантовой механики являются разделы математики, относящиеся по существу к функциональному анализу. Мы лишь вкратце укажем на имеющиеся здесь связи, поскольку изложение основ квантовой механики выходит за рамки этой книги.

В квантовой механике состояние системы задается при ее математическом описании вектором гильбертова пространства. Такие величины, как энергия, импульс, момент количества движения, исследуются с помощью самосопряженных операторов. Например, возможные энергетические уровни электрона в атоме вычисляются как собственные значения оператора энергии. Разности этих собственных значений дают частоты излучаемого атомом света, определяя, таким образом, структуру спектра излучения данного вещества. Соответствующие состояния электрона описываются при этом как собственные функции оператора энергии.

Решение задач квантовой механики часто требует вычисления собственных значений различных (обычно дифференциальных) операторов. В сколько-нибудь сложных случаях точное решение зтих задач оказывается практически невозможным. Для приближенного решения этих задач широко используется так называемая теория возмущений, позволяющая по уже известным собственным значениям и функциям некоторого самосопряженного оператора А находить собственные значения

мало отличающегося от него оператора Отметим, что теория возмущений далека от полного математического обоснования, которое является интересной и важной математической проблемой.

Независимо от приближенного определения собственных значений часто можно много сказать о данной задаче при помощи качественного исследования. Это исследование в задачах квантовой механики проводится на основе имеющихся в данной задаче симметрий. Примерами таких симметрий могут служить свойства симметрии кристаллов, сферическая симметрия в атоме, симметрия относительно отражений и др. Так как симметрии образуют группу (см. главу XX), то групповые методы (так называемая теория представлений групп) дают возможность ответить без вычислений на ряд вопросов. Укажем, например, на классификацию атомных спектров, ядерные превращения и другие вопросы.

Таким образом, квантовая механика широко использует математический аппарат теории самосопряженных операторов. В то же время продолжающееся в настоящее время развитие квантовой механики приводит к дальнейшему развитию теории операторов, ставя перед этой теорией новые задачи.

Влияние квацтовой механики, а также и внутриматематическое развитие функционального анализа, привело к тому, что в последние годы алгебраические проблемы и методы стали играть значительную роль в функциональном анализе. Это усиление алгебраических тенденций в современном анализе не лишне сопоставить с возросшим значением алгебраических методов в современной теоретической физике по сравнению с методами физики XIX в.

В заключение подчеркнем еще раз, что функциональный анализ является одним из интенсивно развивающихся разделов современной математики. Его связи и применения в современной физике, дифференциальных уравнениях, приближенных вычислениях и использование общих методов, выработанных в алгебре, топологии, теории функций действительного переменного и т. п. делают функциональный анализ одним из основных узлов современной математики.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)