§ 2. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО (БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО)

Связь с n-мерным пространством.

Введение понятия -мерного пространства оказалось полезным при изучении ряда вопросов математики и физики. В свою очередь это понятие дало толчок дальнейшему развитию понятия пространства и его приложению к различным областям математики. В развитии линейной алгебры и геометрии -мерных пространств большую роль сыграли задачи о малых колебаниях упругих систем.

Рис. 3.

Рассмотрим следующий классический пример такой задачи (рис. 3). Пусть — гибкая нить, натянутая между точками А и В. Представим себе, что в некоторой точке С нити прикреплен грузик. Если вывести его из положения равновесия, он начнет колебаться с некоторой частотой и, которую можно вычислить, зная силу натяжения нити,

массу и положение груза. Положение системы в каждый момент времени задается при этом одним числом, а именно отклонением массы от положения равновесия нити.

Расположим теперь на нити грузиков в точках Нить при этом будем считать невесомой. Это значит, что ее масса настолько мала, что по сравнению с массами грузиков мы можем пренебречь ею. Положение такой системы задается числами равными отклонениям грузиков от положения равновесия. Совокупность чисел можно (и это оказывается во многих отношениях полезным) считать вектором n-мерного пространства.

Рис. 4.

Само исследование малых колебаний, проведенное в таком изложении, оказывается тесно связанным с основными фактами геометрии -мерных пространств. Укажем, например, что определение частот колебаний такой системы может быть сведено к задаче о нахождении осей некоторого эллипсоида в -мерном пространстве.

Рассмотрим теперь задачу о малых колебаниях натянутой между точками А и В струны. При этом мы имеем в виду идеализированную струну, т. е. гибкую нить, обладающую конечной массой, непрерывно распределенной вдоль нити. В частности, под однородной струной понимается струна, плотность которой постоянна.

Так как масса распределена вдоль струны непрерывно, то положение струны уже нельзя задать конечным числом чисел , а нужно задать отклонение каждой точки х струны. Таким образом, положение струны в каждый момент времени задается некоторой функцией

Положение нити с грузами, прикрепленными в точках с абсциссами изображается графически ломаной линией с звеньями (рис. 4). Если число грузов увеличится, то соответствующим образом увеличится число звеньев ломаной линии. Если число грузов неограниченно возрастает, а расстояние между соседними грузами стремится

Рис. 5.

к нулю, то в пределе мы получим непрерывное распределение масс вдоль нити, т. е. идеализированную струну. Ломаная линия, изображающая положение нити с грузами, перейдет при этом в кривую, изображающую положение струны (рис. 5).

Мы видим, таким образом, что между задачами о колебании нити с грузами и о колебании струны существует тесная связь. В первой задаче положение системы задавалось точкой или вектором -мерного пространства. Поэтому естественно функцию задающую положение колеблющейся струны во второй задаче, также рассматривать как вектор или точку некоторого, уже бесконечномерного пространства. К той же идее рассмотрения пространства, точками (векторами) которого являются функции заданные на некотором интервале, приводит целый ряд аналогичных задач.

Рассмотренный выше пример задачи о колебаниях, к которому мы еще вернемся в § 4, подсказывает нам, как следует вводить основные понятия в бесконечномерном пространстве.