Свойства интегральных уравнений.

Выше мы познакомились с примерами интегральных уравнений

и

из которых первое получилось при решении задачи о свободных колебаниях упругой системы, а второе — при рассмотрении вынужденных колебаний, т. е. колебаний под воздействием внешней силы.

Неизвестной функцией в этих уравнениях является функция . Заданная функция называется ядром интегрального уравнения.

Уравнение (27) называется неоднородным линейным интегральным уравнением, а уравнение (26) — однородным. Оно получается из неоднородного при

Ясно, что однородное уравнение всегда имеет нулевое решение, т. е. решение Между решениями неоднородного и однородного интегральных уравнений существует тесная связь. Укажем для примера на следующую теорему: если однородное интегральное уравнение имеет лишь нулевое решение, то соответствующее неоднородное уравнение разрешимо для всякой функции

Если для некоторого значения X однородное уравнение имеет решение не равное тождественно нулю, то это значение X называется собственным значением, а соответствующее решение — собственной функцией. Мы видели выше, что когда интегральное уравнение описывает свободное колебание упругой системы, то собственные значения тесно связаны о частотами колебаний системы (а именно Собственные же функции задают форму соответствующих гармонических колебаний.

Для задачи о колебаниях из закона сохранения энергии следовало, что

Ядро, удовлетворяющее условию (28), называется симметрическим.

Для уравнения с симметрическим ядром собственные функции и собственные значения обладают рядом важных свойств. Оказывается, что у такого уравнения всегда существует последовательность действительных собственных значений

Каждому собственному значению отвечает одна или несколько собственных функций. При этом собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, всегда ортогональны между собою.

Таким образом, для всякого интегрального уравнения с симметрическим ядром система собственных фуикций есть ортогональная система функций. Возникает вопрос о том, когда эта система полна, т. е. когда можно всякую функцию из гильбертова пространства разложить в ряд по системе собственных функций интегрального уравнения. В частности, если уравнение

удовлетворяется лишь при то система собственных функций интегрального уравнения

является полной ортогональной системой.

Таким образом, всякую функцию с интегрируемым квадратом можно в этом случае разложить в ряд по собственным функциям. Рассматривая те или иные интегральные уравнения, мы получаем общий

и сильный метод для доказательства замкнутости различных важных ортогональных систем, т. е. разложимости функций в ряд по ортогональным функциям. Этим методом можно доказать полноту системы тригонометрических функций, цилиндрических функций, сферических функций и многих других важных систем функций.

То обстоятельство, что произвольную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям, в случае колебаний означает, что любое колебание может быть разложено на сумму гармонических. Такое разложение представляет собой метод, широко применяемый при решении задач о колебаниях в различных областях механики и физики (колебания упругих тел, акустические колебания, электромагнитные волны и т. д.).

Развитие теории линейных интегральных уравнений явилось толчком для создания общей теории линейных операторов, в которую теория линейных интегральных уравнений органически входит. В последние несколько десятилетий общие методы теории линейных операторов сильно способствовали дальнейшему развитию теории интегральных уравнений.