Измеримые функции.

Переходим к одному из наиболее блестящих приложений понятия меры множеств, а именно к описанию того класса функций, с которыми фактически оперирует математический анализ и теория функций. Точная постановка задачи такова. Если последовательность функций заданных на некотором множестве Е, сходится в каждой точке Е, кроме, быть может, точек множества меры нуль, то будем говорить, что последовательность сходится почти всюду.

Какие функции можно получить из непрерывных функций путем: повторного применения операции построения предела почти всюду сходящейся последовательности функций и алгебраических операций?

Для ответа на этот вопрос нам потребуется несколько новых понятий.

Пусть функция определена на некотором множестве Е и а — произвольное действительное число. Обозначим через

множество тех точек Е, для которых Например, если функция, определена на отрезке [0, 1] и на этом отрезке то множества равны [0, 1] для равны для и Пусты для

Функция определенная на некотором множестве Е, называется измеримой, если само множество Е измеримо и для любого действительного числа а измеримо множество

Можно показать, что произвольная непрерывная функция, заданная на отрезке, измерима. Однако к числу измеримых функций принадлежат также и многие разрывпые функции, например функция Дирихле, равная 1 для иррациональных точек отрезка [0, 1] и равная 0 для остальных точек этого отрезка.

Отметим без доказательства, что измеримые функции обладают следующими свойствами.

1. Если — измеримые функции, определенные на одном и том же множестве Е, то функции

также измеримы (последняя, если ).

Это свойство показывает, что алгебраические операции над измеримыми функциями снова приводят к измеримым функциям.

2. Если последовательность измеримых функций определенных на множестве Е, сходится почти всюду к функции то эта функция также измерима.

Таким образом, операция построения предела почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций вновь приводит к измеримым функциям.

Эти свойства измеримых функций были установлены Лебегом. Глубокое исследование измеримых функций было произведено советскими математиками Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным. В частности, Н. Н. Лузин показал, что всякую измеримую функцию, заданную на отрезке, можно превратить в непрерывную, изменив ее значения на некотором множестве сколь угодно малой меры.

Этот классический результат Н. Н. Лузина и перечисленные выше свойства измеримых функций позволяют показать, что измеримые функции и представляют собой тот класс функций, о котором шла речь в начале этого пункта. Измеримые функции имеют также большое значение для теории интегрирования, именно, понятие интеграла может быть обобщено таким образом, чтобы всякая ограниченная измеримая функция оказалась интегрируемой. Подробнее об этом рассказывается в следующем параграфе.