Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава XVII. АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВАС тех пор как Н. И. Лобачевский впервые показал возможность неэвклидовой геометрии и выдвинул новое представление об отношении геометрии к материальной действительности, предмет геометрии, ее методы и применения чрезвычайно расширились. Теперь математики изучают разные «пространства»: наряду с эвклидовым пространством рассматривается пространство Лобачевского, проективное пространство, различные Как и откуда возникли эти математические абстракции? Какое реальное основание, какое реальное значение и применение они имеют? Каково их отношение к действительности? Как они определяются и как их рассматривают в математике? Какое значение в математике имеют общие идеи современной геометрии? На эти вопросы должна ответить настоящая глава. В ней не будут излагаться сами теории абстрактных математических пространств; это требовало бы гораздо большего объема изложения и гораздо большего обращения к специальному математическому аппарату. Задача состоит в том, чтобы выяснить сущность новых идей геометрии, т. е. ответить на поставленные вопросы, а это можно сделать без сложных доказательств а формул. История нопроса восходит истоками к «Началам» Эвклида, к аксиоме или, как говорят еще, к постулату о параллельных линиях. § 1. ИСТОРИЯ ПОСТУЛАТА ЭВКЛИДАВ своих «Началах» Эвклид формулировал основные предпосылки геометрии в виде так называемых постулатов и аксиом. Среди них содержался V постулат (в других списках «Начал» — XI аксиома), который теперь формулируют обычно следующим образом: «Через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной данной». Напомним, что прямая называется параллельной данной прямой, если обе прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, причем, говоря так, имеют в виду бесконечные прямые, а не конечные их отрезки. Легко доказать, что через точку А, не лежащую на данной прямой а, всегда можно провести хотя бы одну прямую, параллельную данной. Действительно, опустим из точки А перпендикуляр
Рис. 1. Итак, из основных свойств прямой и движения фигур (поскольку перегибание по линии Среди других постулатов (аксиом) геометрии этот постулат занимает несколько особое место. У самого Эвклида он формулировался довольно сложно, но даже в приведенной выше обычной его форме он содержит известную трудность. Эта трудность заключается уже в самом понятии параллельных прямых: здесь речь идет о всей прямой. Но как убедиться, что данные прямые параллельны? Для этого нужно как бы пройти их в обе стороны «до бесконечности» и убедиться, что они нигде на всем бесконечном протяжении не пересекаются. Ясно, что такое представление имеет свою трудность. Все это, повидимому, и послужило причиной самую формулировку постулата или, что было бы лучше всего, вывести его как теорему из других аксиом и основных понятий геометрии. Так, теория параллельных линий, основанная на V постулате, стала предметом комментирования и разработки в трудах многих геометров, начиная с древности. В цепи этих исследований главной задачей было вовсе избавиться от V постулата, выведя его как теорему из других основных положений геометрии. Этой задачей занимались многие геометры: грек Прокл (V в. н. э.), комментировавший Эвклида, иранец Насирэддин Туси (ХIII в.), англичанин Валлис (1616—1703), итальянец Саккери (1667—1733), немецкий философ и математик Ламберт (1728—1777), француз Лежандр (1752— 1833) и многие другие; все они на протяжении более чем двух тысяч лет, прошедших со времени появления эвклидовых «Начал», изощрялись в тонкости и геометрическом остроумии, пытаясь доказать V постулат. Однако результат этих попыток неизменно оставался отрицательным. Каждый раз выяснялось, что автор того или иного доказательства фактически опирался на какое-нибудь предположение, может быть, и очевидное, но вовсе не вытекающее с логической необходимостью из других предпосылок геометрии. Иными словами, дело сводилось каждый раз к замене V постулата другим утверждением, из которого этот постулат действительно вытекал, но которое само требовало доказательства Глубже других в задачу проникли Саккери и Ламберт. Саккери первый попытался доказать V постулат от противного, т. е. он принял за исходное противоположное утверждение и, развивая из него следствия, надеялся придти к противоречию. Дойдя в этих выводах до результатов, казавшихся совершенно невообразимыми, он подумал, что решил задачу. Но ошибся, потому что противоречие с наглядным представлением не означает еще логического противоречия. Задача ведь состояла в логическом доказательстве эвклидова постулата на основе других положений геометрии, а не в том, чтобы еще раз убедиться в его наглядной верности. Этот постулат и сам по себе наглядно достаточно убедителен. Но, повторяем, наглядная убедительность и логическая необходимость вещи различные. Ламберт оказался более глубоким мыслителем, чем Саккери и его предшественники. Идя по тому же пути, он не нашел логического противоречия и не допустил ошибки других; он не заявил, будто доказал V постулат. Но и после него еще в начале XIX в. Лежандр снова «доказывает» V постулат, впадая в старую ошибку: постулат он опять-таки заменяет другими утверждениями, которые сами требуют доказательства. Итак, к началу XIX в. проблема доказательства V постулата оставалась так же не решенной, как было во времена Эвклида. Усилия оставались тщетными, и задача, казалось, не продвинулась. Поистине то была глубокая загадка геометрии: задача, разрешимость которой казалась несомненной лучшим геометрам, никак не поддавалась решению в течение двух тысяч лет. Теория параллельных стала в XIX в. одной из центральных задач геометрии. Ею занимались многие геометры: Гаусс, Лагранж, Даламбер, Лежандр, Вахтер, Швейкарт, Тауринус, Фаркаш Бойаи и другие. Однако доказательство постулата не удается. В чем же дело: в неумении ли решить задачу, или, может быть, задача неверно поставлена? Этот вопрос уже начинал возникать перед некоторыми из геометров, превосходившими других глубиной мысли. Гаусс, знаменитейший немецкий математик, бьется над задачей начиная с 1792 г. и постепенно перед ним вырисовывается правильная постановка вопроса. Наконец, он решается отказаться от V постулата и начиная с 1813 г. развивает последовательность теорем, выводимых из противоположного утверждения. Несколько позже тем же путем идут немецкие математики Швейкарт в бытность его профессором права в Харькове и затем Тауринус. Но никто из них не нашел окончательного ответа на вопрос. Гаусс тщательно скрывал свои исследования, Швейкарт ограничился частным письмом к Гауссу, и лишь Тауринус выступил в печати с элементами новой геометрии, основанной на отрицании V постулата. Однако он сам исключал возможность такой геометрии. Таким образом, никто из них не решил задачи, и вопрос о правильности всей ее постановки оставался без ответа. Ответ впервые был дан Н. И. Лобачевским, молодым профессором Казанского университета: 23 февраля 1826 г. он прочел в заседании физико-математического факультета доклад о теории параллельных, а в 1829 г. опубликовал его содержание в журнале Казанского университета.
|
1 |
Оглавление
|