§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этом параграфе мы познакомим читателя с одним из важных и исторически одним из первых разделов функционального анализа, а именно с теорией интегральных уравнений, сыгравших также существенную роль в дальнейшем развитии функционального анализа. В развитии теории интегральных уравнений, кроме внутренних потребностей математики [например, краевые задачи для уравнений в частных производных (том 2, глава VI)], имели большое значение различные задачи физики. Наряду с дифференциальными уравнениями в XX в. интегральные уравнения являются одним из важных средств математического изучения различных вопросов физики. В этом параграфе мы изложим некоторые сведения из теории интегральных уравнений. Те факты, которые мы здесь изложим, тесно связаны и в значительной степени возникли (прямо или косвенно) в связи с изучением малых колебаний упругих систем.

Задача о малых колебаниях упругих систем. Вернемся к рассмотренной в § 2 задаче о малых колебаниях. Найдем уравнения, описывающие такие колебания. Для простоты предположим, что мы имеем дело с колебаниями линейной упругой системы. Примерами таких систем могут служить, скажем, струна длины (рис. 8) или упругий стержень (рис. 9). Предположим, что в положении равновесия наша упругая система расположена по отрезку оси Приложим в точке х единичную силу. Под действием этой силы все точки системы получат некоторое отклонение. Отклонение, возникшее в точке у (рис. 8), обозначим через

Функция является функцией двух точек: точки х, в которой приложена сила, и точки у, в которой мы измеряем отклонение. Она называется функцией влияния.

Из закона сохранения энергии можно вывести важное свойство функции влияния к а именно так называемый закон взаимности: отклонение, возникающее в точке у под действием силы, приложенной

в точке х, равно отклонению, возникающему в точке х под действием той же силы, приложенной в точке у. Другими словами, это значит, что

Найдем, например, функцию влияния для продольных колебаний упругого стержня (на рис. 8 изображались другие, поперечные, смещения). Рассмотрим стержень длины закрепленный на концах (рис. 9). Приложим в точке С силу действующую в направлении В. Под действием этой силы стержень деформируется и точка С сместится в положение С. Величину смещения точки С обозначим через Найдем сначала При помощи мы сможем затем найти смещение в любой точке у. Для этого воспользуемся законом Гука, утверждающим, что сила пропорциональна относительному растяжению (т. е. отношению величины смещения к длине). Аналогичное соотношение имеет место и при сжатии.

Под действием силы часть стержня растягивается. Возникающую при этом силу реакции обозначим через . В то же время часть стержня сжимается, порождая силу реакции . В силу закона Гука

где — коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства стержня. Условие равновесия сил, действующих на точку С, дает нам

Отсюда

Рис. 8.

Рис. 9.

Для того чтобы найти смещение, возникающее в некоторой точке у, лежащей на отрезке т. е. при заметим, что из закона Гука следует, что при растяжении стержня относительное растяжение (т. е. отношение смещения точки к расстоянию ее от неподвижного конца)

не зависит от положения точки. Обозначим смещение точки у через к. Тогда, приравняв относительные смещения в точках х и у, получаем

отсюда

Аналогично, если точка лежит на отрезке получаем

Вспоминая, что функция влияния есть отклонение в точке у под действием единичной силы, приложенной в точке х, получаем, что для продольных колебаний упругого стержня функция влияния имеет вид

Можно было бы более или менее подобным образом найти функцию влияния для струны. Если натяжение струны Т, а длина то под действием единичной силы, приложенной к точке х, струна приобретает форму, изображенную на рис. 8, и смещение к в точке у задается формулой

совпадающей с выведенной нами функцией влияния для стержня.

Через функцию влияния можно выразить отклонение системы от положения равновесия для того случая, когда на нее действует непрерывно распределенная сила с плотностью Так как на интервал длины действует сила которую мы приближенно можем считать сосредоточенной в точке у, то под действием этой силы в точке х возникает отклонение к Отклонение под действием всей нагрузки будет приближенно равно сумме

Переходя к пределу при получаем, что отклонение в точке х под действием силы распределенной вдоль системы, задается формулой

Предположим, что наша упругая система не подвержена действию внешних сил. Если вывести ее из положения равновесия, то она придет в движение. Эти движения называются свободными колебаниями системы.

Напишем теперь при помощи функции влияния к уравнение, которому подчиняются свободные колебания рассматриваемой упругой системы. Для этого обозначим через и отклонение от положения равновесия в точке х в момент времени Тогда ускорение в точке х в момент равно

Если — линейная плотность тела, т. е. — масса элемента длины то по основному закону механики мы получим уравнение движения, заменив в формуле (23) силу произведением массы на ускорение взятым с обратным знаком.

Таким образом, уравнение свободных колебаний имеет вид и

Важную роль в теории колебаний играют так называемые гармонические колебания упругой системы, т. е. движения, при которых

Они характеризуются тем, что каждая фиксированная точка совершает гармонические колебания (движется по синусоидальному закону) с некоторой частотой причем эта частота одна и та же для всех точек х.

Мы увидим дальше, что каждое свободное колебание может быть составлено из гармонических колебаний.

Подставим

в уравнение свободных колебаний и сократим на Мы получим тогда следующее уравнение для определения функции и

Такое уравнение называется однородным интегральным уравнением относительно функции

Ясно, что уравнение (24) при любом имеет неинтересное для нас решение отвечающее состоянию покоя. Те значения , при которых имеются отличные от нуля решения уравнения (24), называются собственными частотами системы.

Рис. 10.

Так как не при всяком значении имеются отличные от нуля решения, система может совершать свободные колебания лишь с определенными частотами. Наименьшая из них называется основным тоном системы, а остальные — обертонами.

Оказывается, что у каждой системы существует бесконечная последовательность собственных частот, так называемый спектр частот

Ненулевое решение уравнения (24), отвечающее собственной частоте задает нам форму соответствующего собственного колебания.

Так, например, если упругая система представляет собой струну, натянутую между точками О и l и закрепленную в этих точках, то возможные частоты собственных колебаний для такой системы равны

где а — коэффициент, зависящий от плотности и натяжения струны, а именно Основным тоном является здесь — а обертонами

тонами Формы соответствующих гармонических колебаний задаются равенствами

и имеют вид, изображенный для на рис. 10.

Мы рассматривали свободные колебания упругих систем. Если же во время движения на упругую систему действует гармоническая внешняя сила, то, определяя гармонические колебания под действием этой силы, мы придем для функции и к так называемому неоднородному интегральному уравнению