Счетные множества.

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества А и элементами множества всех натуральных чисел

то говорят, что множество А счетно, Иными словами, множество А счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности

Табл. 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечпом множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть Ч есть множество всех четных чисел, Н — множество всех нечетных чисел и — множество всех натуральных чисел. Как показывает табл. 4, множества Ч и Н счетны. Однако множество вновь счетно.

Таблица 4

Нарушение правила «целое больше части» для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств копечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно. Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности:

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.