Алгебраические многообразия.

Другой исток теории идеалов лежит в алгебраической геометрии. Уже при первоначальном ознакомлении с теорией кривых второго порядка обычно вызывает удивление, что единой кривой гиперболой называют совокупность двух не связанных друг с другом кривых — ветвей гиперболы и что в то же время пару прямых называют распадающейся кривой второго порядка. Это различие в терминологии находит объяснение в алгебре: если уравнения кривых рассматривать в виде где — многочлен от то в первом случае левая часть этого уравнения будет неприводимым многочленом второй степени, а во втором — произведением двух сомножителей первой степени. Кривую, уравнение которой можно представить при помощи неприводимого многочлена называют неприводимой, а в противном случае — приводимой.

При переходе к пространственным кривым дело становится сложнее. Пространственная кривая изображается системой двух уравнений причем многочлены определяются

кривой далеко не однозначно. Что же здесь называть неприводимой кривой?

Естественный ответ дает теория идеалов. Пусть - некоторое множество многочленов от переменных х, у, z вообще с комплексными коэффициентами. Совокупность точек пространства (комплексного), координаты которых обращают все данные многочлены в нуль, называется алгебраическим многообразием, определяемым данными многочленами. Обозначим это многообразие через М и рассмотрим все многочлены от переменных х, у, z, обращающиеся в нуль в каждой точке М. Легко видеть, что совокупность I всех таких многочленов будет идеалом в кольце многочленов от х, у, z. Этот идеал, кроме того, будет обладать тем свойством, что если степень какого-либо многочлена содержится в , то и сам многочлен содержится в I. Оказывается, что в то время как различные совокупности многочленов могут определять одно и то же алгебраическое многообразие, соответствие между многообразиями и идеалами с упомянутым дополнительным свойством является взаимно однозначным.

Таким образом, при изучении свойств многообразий естественно рассматривать не более или менее случайные «уравнения» их, а изучать соответствующий идеал. Если идеал I может быть представлен в виде пересечения каких-либо двух идеалов то многообразие М будет объединением многообразий отвечающих идеалам Отсюда видно, что многообразие М естественно называть неприводимым в том случае, когда соответствующий идеал I нельзя представить в виде пересечения двух других объемлющих идеалов. Распадению кривой на кривые низших порядков, разложению многообразия на неприводимые теперь будет отвечать представление соответствующего идеала в виде пересечения неразложимых. Вопрос об однозначности и возможности таких разложений является одним из первых в теории алгебраических многообразий и общей теории идеалов.