Инвариантные подгруппы и фактор-группы.

Пусть Р и -произвольные совокупности элементов какой-либо группы Произведением совокупности Р на совокупность символически называется множество тех элементов группы которые могут быть представлены в виде произведения некоторого элемента из Р на некоторый элемент из . В частности, произведение , где — элемент группы есть совокупность произведений элемента на каждый элемент множества Р.

Подгруппа Н группы называется инвариантной подгруппой или Лормальным делителем группы если для любого из Совокупности вида где Н — произвольная подгруппа, называются соответственно правым и левым смежными классами группы по подгруппе Н, содержащими элемент Таким образом, можно сказать, что инвариантные подгруппы вполне характеризуются тем свойством, что для них левый и правый смежные классы, отвечающие одному и тому же элементу, совпадают.

Если Н — инвариантная подгруппа, то произведение двух смежных классов будет, как легко доказать, снова смежным классом, именно: . Подгруппа Н сама по себе является смежным классом, отвечающим единице или любому своему элементу так как Умножение смежных классов ассоциативно

Подгруппа Н играет роль нейтрального элемента в этом умножении: аналогично Смежный класс является обратным относительно так как Следовательно, рассматривая каждый смежный класс по инвариантной подгруппе в качестве элемента нового множества, мы видим, что это множество будет группой относительно операции умножения смежных классов. Эта группа называется фактор-группой группы по инвариантной подгруппе Н и обозначается

Легко установить, что для конечных групп каждый смежный класс по любой подгруппе Н содержит столько различных элементов, сколько их содержит сама подгруппа Н, и что разные смежные классы общих элементов не имеют. Отсюда следует, что число смежных классов конечной группы по какой-либо ее подгруппе Н равно порядку деленному на порядок Н, откуда вытекает важная теорема Лагранжа о том, что порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Из определения инвариантной подгруппы видно, что в абелевых группах всякая подгруппа является инвариантной. Другой крайний случай представляют так называемые простые группы, ни одна подгруппа которых, отличная от единичной и от самой группы, не

является инвариантной. Помимо абелевых и простых групп, важное значение имеют также разрешимые группы, определение которых было уже дано в § 3. Можно показать, что разрешимые группы обладают конечной цепочкой инвариантных подгрупп первая из которых совпадает с заданной группой каждая следующая содержится в предыдущей; последняя подгруппа является единичной, а все фактор-группы являются абелевыми.