Инвариантные подгруппы и фактор-группы.
Пусть Р и
-произвольные совокупности элементов какой-либо группы
Произведением совокупности Р на совокупность
символически
называется множество тех элементов группы
которые могут быть представлены в виде произведения некоторого элемента из Р на некоторый элемент из
. В частности, произведение
, где
— элемент группы
есть совокупность произведений элемента
на каждый элемент множества Р.
Подгруппа Н группы
называется инвариантной подгруппой или Лормальным делителем группы
если
для любого
из
Совокупности вида
где Н — произвольная подгруппа, называются соответственно правым и левым смежными классами группы
по подгруппе Н, содержащими элемент
Таким образом, можно сказать, что инвариантные подгруппы вполне характеризуются тем свойством, что для них левый и правый смежные классы, отвечающие одному и тому же элементу, совпадают.
Если Н — инвариантная подгруппа, то произведение двух смежных классов будет, как легко доказать, снова смежным классом, именно:
. Подгруппа Н сама по себе является смежным классом, отвечающим единице или любому своему элементу
так как
Умножение смежных классов ассоциативно
Подгруппа Н играет роль нейтрального элемента в этом умножении:
аналогично
Смежный класс
является обратным относительно
так как
Следовательно, рассматривая каждый смежный класс по инвариантной подгруппе в качестве элемента нового множества, мы видим, что это множество будет группой относительно операции умножения смежных классов. Эта группа называется фактор-группой группы
по инвариантной подгруппе Н и обозначается
Легко установить, что для конечных групп каждый смежный класс по любой подгруппе Н содержит столько различных элементов, сколько их содержит сама подгруппа Н, и что разные смежные классы общих элементов не имеют. Отсюда следует, что число смежных классов конечной группы
по какой-либо ее подгруппе Н равно порядку
деленному на порядок Н, откуда вытекает важная теорема Лагранжа о том, что порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Из определения инвариантной подгруппы видно, что в абелевых группах всякая подгруппа является инвариантной. Другой крайний случай представляют так называемые простые группы, ни одна подгруппа которых, отличная от единичной и от самой группы, не