§ 2. РЕШЕНИЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

1. Сущность решения проблемы V постулата, данного Лобачевским, выражена им самим в сочинении «Новые начала геометрии» (1835) в следующих словах:

«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Эвклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости

моей догадки будучи, наконец, убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Разберем, что имел в виду Лобачевский в этом высказывании, в котором, как в фокусе, сконцентрирована новая его идея, не только давшая решение вопроса о V постулате, но повернувшая по-новому все понимание геометрии, да и не одной геометрии.

Н. И. Лобачевский еще в 1815 г. начал работать над теорией параллельных, пытаясь вначале, подобно другим геометрам, доказать V постулат. В 1823 г. он уже ясно осознал, что все доказательства, «какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами». Тут он увидел, что «в самих понятиях не заключается той истипы, которую хотели доказывать», т. е., иными словами, из основных посылок и понятий геометрии нельзя вывести V постулат. Как он убедился, что такой вывод невозможен?

Он убедился в этом, далеко уйдя по тому пути, на котором первые шаги делали еще Саккери и Ламберт. В качестве предположения он ввел утверждение, противоположное эвклидовскому постулату, а именно: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямые, параллельные данной». Примем это утверждение условно как аксиому и, присоединив его к другим положениям геометрии, будем развивать отсюда дальнейшие следствия. Тогда, если такое утверждение несовместимо с другими положениями геометрии, мы придем к противоречию, и тем самым V постулат будет доказан от противного: противоположное предположение приводится к противоречию. Однако поскольку такого противоречия не обнаруживается, приходим к двум выводам, которые и сделал Лобачевский.

Первый вывод состоит в том, что V постулат не доказуем. Второй вывод состоит в том, что на основе противоположиой, только что сформулированной аксиомы можно развивать цепь следствий — теорем, которые не будут заключать противоречия. Эти следствия образуют тем самым некоторую логически возможпую, непротиворечивую теорию, которая может рассматриваться как новая, неэвклидова геометрия. Лобачевский осторожно назвал ее «воображаемой», поскольку не мог еще найти ее реального объяснения. Но логическая ее возможность для него была ясна. Высказывая и отстаивая это твердое убеждение, Лобачевский проявил истинное величие гения, который не колеблясь отстаивает свои убеждения, а не прячет их от общественного мнения, опасаясь непонимания и критики.

Итак, первые два вывода, полученные Лобачевским, состояли в утверждении недоказуемости V постулата и в возможности развить на основе

противоположной аксиомы новую геометрию, логически столь же содержательную и совершенную, как эвклидова, несмотря на противоречие ее выводов наглядным представлениям о пространстве. Лобачевский фактически развил эту новую геометрию, которая теперь носит его имя. В этом заключался общий результат огромной важности: логически мыслима не одна геометрия. Значение этого вывода во всем его объеме мы еще выясним; в нем, собственно, уже содержится не малая доля решения тех вопросов об абстрактных математических пространствах, которые были поставлены в начале этой главы.

Но вернемся к приведенному выше высказыванию Лобачевского. Он говорит, что геометрическую истину, подобно другим физическим законам, могут проверить лишь опыты. Это значит, во-первых, что под истиной нужно понимать соответствие отвлеченных понятий реальной действительности. Это соответствие может установить только опыт, и, следовательно, для проверки истинности тех или иных выводов нужны опытные исследования, одних же логических умозаключений для этого недостаточно. Хотя эвклидова геометрия отражает реальные свойства пространства очень точно, нельзя быть уверенным, что дальнейшие исследования не обнаружат только приближенную правильность эвклидовой геометрии как учения о свойствах реального пространства. Тогда геометрия как учение о реальном пространстве (а не как логическая система) потребует изменения и уточнения в согласии с новыми опытными данными.

Эта гениальная мысль Лобачевского нашла полное подтверждение в новом развитии физики — в теории относительности.

Сам Лобачевский предпринял вычисления на основе астрономических наблюдений, с тем чтобы проверить точность эвклидовой геометрии. Эти вычисления подтвердили тогда ее правильность в пределах доступной точности. Теперь положение изменилось, хотя нужно сразу огонорить, что и геометрия Лобачевского не оказалась более точной в применении к пространству, его свойства оказались другими, более сложными. Но еще раньше геометрия Лобачевского нашла свое обоснование и применение в другой связи, о чем мы будем подробно говорить дальше.

Нужно подчеркнуть, что Лобачевский вовсе не рассматривал свою геометрию просто как логическую схему, построенную на произвольно принятых предположениях. Главную задачу он видел не в логическом анализе оснований геометрии, а в исследовании их отношения к действительности. Поскольку опыт не может дать абсолютно точного решения вопроса о верности эвклидова постулата, постольку имеет смысл исследование тех логических возможностей, которые представляются более основными предпосылками геометрии. Это математическое исследование поможет наметить те пути, по которым должно идти физическое изучение свойств реального пространства. Тем более, что геометрия Эвклида есть предельный случай геометрии Лобачевского, и потому эта последняя включает более широкие возможности. С этой точки зрения ограничение

постулатом Эвклида было бы запретом для развития теории. Теория должна выходить за пределы уже известного, чтобы искать и указывать пути к открытию новых фактов и законов. Глубокое понимание связи математики с действительностью позволяет выделить из разнообразия логических возможностей именно те, которые имеют наибольшее основание оказаться полезными в познании природы. Если бы геометры вслед за Лобачевским не развивали математического учения о возможных свойствах пространства, современная физика не имела бы тех математических средств, которые позволили формулировать и развить положения теории относительности.

Итак, подведем итог того решения проблемы V постулата, которое дал Лобачевский.

1°. Постулат недоказуем.

2°. Присоединяя к основным положениям геометрии противоположную аксиому, можно развить логически совершенную и содержательную геометрию, отличную от эвклидовой.

3°. Правильность выводов той или иной логически мыслимой геометрии в применении к реальному пространству проверяется только опытом. Логически мыслимая геометрия должна разрабатываться не как произвольная логическая схема, а как теория, намечающая возможные пути и методы развития физических теорий.

Решение это совершенно отлично от того, что хотели получить геометры, пытавшиеся доказать эвклидов постулат. Оно настолько шло вразрез с установившимися представлениями, что не встретило понимания среди математиков. Оно было для них еще слишком новым и радикальным. Лобачевский как бы разрубил гордиев узел теории параллельных, а не распутал его, как то рассчитывали сделать другие.

2. Почти одновременно с Лобачевским недоказуемость V постулата и возможность неэвклидовой геометрии обнаружил венгерский геометр Янош Бойаи (1802—1860), который опубликовал свои выводы в виде дополнения к вышедшему в 1832 г. геометрическому трактату своего отца Фаркаша Бойаи. Предварительно отец послал работу сына на отзыв Гауссу и получил похвальный ответ, где Гаусс сообщал, что уже давно сам пришел к тем же выводам. Однако от печатных выступлений Гаусс все же воздержался. В одном из писем он объясняет это тем, что боится быть непонятым.

В науке всегда бывает так, что назревшие в ней выводы почти одновременно и независимо получаются разными учеными. Интегральное и дифференциальное исчисление развивали одновременно Ньютон и Лейбниц; к идеям Дарвина независимо пришел в то же время Уоллес; начала теории относительности одновременно с Эйнштейном наметил также Пуанкаре, и таких примеров можно привести много. Они доказывают лишний раз, что наука развивается необходимым образом путем решения назревших в ней задач, а не путем случайных открытий и догадок. Так

и к открытию возможности неэвклидовой геометрии подошли одновременно несколько геометров: Лобачевский, Ббйаи, Гаусс, Швейкарт и Тауринус.

Однако, как это также постоянно бывает в науке, не все ученые, пришедшие к новому результату, играют в его установлении одинаковую роль, и не всем можно приписать одинаковую заслугу. Здесь имеет значение и первенство по времени, и ясность и глубина выводов, и последовательность и обоснованность их проведения. Ни Швейкарт, ни Тауринус не были убеждены в правомерности новой геометрии, а это как раз и было решающим в данном случае, тем более что отдельные ее выводы были получены еще Саккери и Ламбертом. Гаусс, хотя и имел, повиди-мому, это убеждение, но не был настолько тверд в нем, чтобы рискнуть выступить с ним открыто. Глубокий и разносторонний математик, он не имел мужества отстаивать новые идеи и не произвел поэтому в математике такого переворота, какой сделал Лобачевский. В этом Гаусс оставался типичным представителем немецкой интеллигенции той эпохи, с ее глубокой теоретической мыслью и политической трусостью. Этот дух выразился в философии Гегеля — современника Гаусса, который, как говорит Ленин, «гениально угадал, именно угадал, не более», диалектику природы и познания, но, угадав эту, по словам Герцена, «алгебру революции», подчинил ее своей идеалистической, реакционной системе философии.

Ббйаи не проявил нерешительности, но он не дал новым идеям столь далекого и глубоко идущего развития, какое дал Лобачевский. Именно Лобачевский первый открыто — устно в 1826 г. и печатно в 1829 г. — высказал новые идеи и продолжал развивать и пропагандировать их в ряде трудов, кончая вышедшей в 1855 г. «Пангеометрией», которую он диктовал, будучи уже слепым стариком на склоне лет, сохраняя твердость духа и уверенность в своей правоте. Именно поэтому новая геометрия по праву носит его имя.

Н. И. Лобачевский не только развил новую геометрию, но и правильно поставил вопрос об отношении геометрии к действительности. У идеалистов большим почетом пользовалась подновляемая до сих пор философия Канта, согласно которой пространство не является реальной формой существования материи, а лишь врожденной формой нашего представления, априорной, т. е. не зависящей от опыта, формой созерцания. По Канту, следовательно, и геометрия является априорной, не зависящей от опыта. Лобачевский опроверг это идеалистическое воззрение. Он выступил против него как материалист, дав глубокое материалистическое понимание отношения геометрии к действительности. Он говорил, что истину проверить могут только опыты. Вопреки Канту, Лобачевский утверждал, что «первые», т. е. основные «понятия приобретаются чувствами, врожденным — не должно верить». Лобачевский не только настаивал на происхождении представлений и понятий из опыта (о чем говорили материалисты

и до него), но и показал, что отношение геометрии к действительности должно еще уточняться опытом. Тут заключалась уже идея развития геометрии, идея неограниченного приближения к абсолютной истине по мере развития наших знаний.

Таким образом, Лобачевский был не только гениальным геометром, но и философом-материалистом. Он был также энергичным и разносторонним деятелем на поприще русского просвещения, состоя профессором и в течение почти 20 лет ректором Казанского университета. В материализме Лобачевского, в мужестве и стойкости, с которыми он отстаивал свои идеи, вопреки непониманию и даже издевательствам, в его широкой деятельности как ученого, педагога и организатора выразились характерные черты лучших представителей русского образованного общества того времени. То была эпоха бурного подъема и расцвета русского гения и общественного самосознания — эпоха Пушкина, декабристов, Белинского. Россия выступала на мировую арену не как робкая и послушная ученица европейской культуры, а как сила, дающая свое, новое, такое, чего не знала еще Европа. Так, в математике Лобачевский решил проблему, стоявшую перед наукой две тысячи лет, и повернул ее развитие на новые пути. Его материализм, его научное мужество сродни материализму и мужеству Радищева, Пестеля и Белинского. Лобачевский был не только создателем новой геометрии, но ученым, мыслителем и гражданином — великим человеком в полном смысле этого слова. Последовавшее за Лобачевским развитие геометрии, конечно, далеко вышло за пределы, о каких он мог мыслить, но по праву от него нужно считать начало новой эпохи в геометрии и в математике вообще.