Кристаллографические группы.

В 1890 г. знаменитый русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров, решил теоретико-групповыми методами одну из основных задач кристаллографии: задачу классификации правильнык пространственных систем точек. Это было первым случаем непосредственного применения теории групп к решению больших задач естествознания и оказало существенное влияние на развитие теории групп.

Кристаллические тела обладают той особенностью, что составляющие их атомы образуют в пространстве в некотором смысле правильную систему. Рассмотрим те движения пространства, которые переводят точки системы снова в точки системы. Эти движения образуют группу, свойства которой позволяют более точно сформулировать и само понятие правильной системы точек.

Систему точек пространства называют правильной пространственной системой точек, если

4) любую точку системы можно перевести в любую другую ее точку посредством движения, совмещающего систему с собой;

2) никакой шар конечного радиуса не содержит бесконечного числа точек системы;

3) существует такое положительное число что всякий шар радиуса содержит по меньшей мере одну точку системы.

Задача изучения строения кристаллических тел оказывается тесно связанной с классификацией правильных пространственных систем точек, которая в свою очередь связана с классификацией дискретных групп движений пространства. Подобно плоскому случаю, группа движений Н пространства называется дискретной, если около каждой точки А пространства можно описать такой шар положительного радиуса с центром в А, что каждое движение, входящее в Н, или оставляет точку А на месте, или выводит ее за пределы шара.

Можно показать, что совокупность движений пространства, совмещающих с собою данную правильную пространственную систему точек, является обязательно дискретной группой, причем все точки системы можно получить из любой фиксированной точки системы, сдвигая ее при помощи преобразований этой группы. Обратно, если известна некоторая дискретная группа Н, то, беря в пространстве произвольную

точку А и сдвигая ее при помощи всевозможных движений, входящих в Н, мы получим систему точек, обладающую свойствами 1, 2. Путем несложных дополнительных требований можно из дискретных групп выделить те группы, которые для подходяще выбранных точек А дают настоящие правильные пространственные системы точек, т. е. системы точек со всеми тремя свойствами 1, 2, 3. Такие дискретные группы носят название федоровских или кристаллографических групп. Из сказанного видно, что нахождение федоровских групп есть первый и важнейший шаг в исследовании правильных пространственных систем точек. Оказалось, что для целей естествознания необходимо рассматривать не только группы, составленные лишь из собственных движений, но также группы, содержащие и собственные и несобственные движения (т. е. включающие отражение). Число федоровских групп, составленных только из собственных движений, значительно меньше числа федоровских групп, составленных из собственных и несобственных движений, и только в последнем, более общем случае многообразие получаемых правильных пространственных систем точек действительно исчерпывает все богатство встречающихся в природе строений кристаллических тел.

Интересно отметить, что лишь теория групп позволила разобраться в этом исключительном богатстве возможностей в отличие от упоминавшегося выше плоского случая.

Сложность пространственной задачи сравнительно с плоской видна из следующей таблицы:

Подробный вывод и перечисление всех федоровских групп в пространстве еще и в настоящее время требуют нескольких десятков страниц текста. Поэтому мы ограничимся сообщением только этих количественных результатов, отсылая интересующихся читателей к специальной литературе.

Современное развитие кристаллографии сделало необходимым дальнейшее развитие понятия симметрии. Новые возможности и пути этого намечены в книге кристаллографа акад. А. В. Шубникова «Симметрия и антисимметрия конечных фигур», Изд-во АН СССР, 1951.