Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Кристаллографические группы.

В 1890 г. знаменитый русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров, решил теоретико-групповыми методами одну из основных задач кристаллографии: задачу классификации правильнык пространственных систем точек. Это было первым случаем непосредственного применения теории групп к решению больших задач естествознания и оказало существенное влияние на развитие теории групп.

Кристаллические тела обладают той особенностью, что составляющие их атомы образуют в пространстве в некотором смысле правильную систему. Рассмотрим те движения пространства, которые переводят точки системы снова в точки системы. Эти движения образуют группу, свойства которой позволяют более точно сформулировать и само понятие правильной системы точек.

Систему точек пространства называют правильной пространственной системой точек, если

4) любую точку системы можно перевести в любую другую ее точку посредством движения, совмещающего систему с собой;

2) никакой шар конечного радиуса не содержит бесконечного числа точек системы;

3) существует такое положительное число что всякий шар радиуса содержит по меньшей мере одну точку системы.

Задача изучения строения кристаллических тел оказывается тесно связанной с классификацией правильных пространственных систем точек, которая в свою очередь связана с классификацией дискретных групп движений пространства. Подобно плоскому случаю, группа движений Н пространства называется дискретной, если около каждой точки А пространства можно описать такой шар положительного радиуса с центром в А, что каждое движение, входящее в Н, или оставляет точку А на месте, или выводит ее за пределы шара.

Можно показать, что совокупность движений пространства, совмещающих с собою данную правильную пространственную систему точек, является обязательно дискретной группой, причем все точки системы можно получить из любой фиксированной точки системы, сдвигая ее при помощи преобразований этой группы. Обратно, если известна некоторая дискретная группа Н, то, беря в пространстве произвольную

точку А и сдвигая ее при помощи всевозможных движений, входящих в Н, мы получим систему точек, обладающую свойствами 1, 2. Путем несложных дополнительных требований можно из дискретных групп выделить те группы, которые для подходяще выбранных точек А дают настоящие правильные пространственные системы точек, т. е. системы точек со всеми тремя свойствами 1, 2, 3. Такие дискретные группы носят название федоровских или кристаллографических групп. Из сказанного видно, что нахождение федоровских групп есть первый и важнейший шаг в исследовании правильных пространственных систем точек. Оказалось, что для целей естествознания необходимо рассматривать не только группы, составленные лишь из собственных движений, но также группы, содержащие и собственные и несобственные движения (т. е. включающие отражение). Число федоровских групп, составленных только из собственных движений, значительно меньше числа федоровских групп, составленных из собственных и несобственных движений, и только в последнем, более общем случае многообразие получаемых правильных пространственных систем точек действительно исчерпывает все богатство встречающихся в природе строений кристаллических тел.

Интересно отметить, что лишь теория групп позволила разобраться в этом исключительном богатстве возможностей в отличие от упоминавшегося выше плоского случая.

Сложность пространственной задачи сравнительно с плоской видна из следующей таблицы:

Подробный вывод и перечисление всех федоровских групп в пространстве еще и в настоящее время требуют нескольких десятков страниц текста. Поэтому мы ограничимся сообщением только этих количественных результатов, отсылая интересующихся читателей к специальной литературе.

Современное развитие кристаллографии сделало необходимым дальнейшее развитие понятия симметрии. Новые возможности и пути этого намечены в книге кристаллографа акад. А. В. Шубникова «Симметрия и антисимметрия конечных фигур», Изд-во АН СССР, 1951.

1
Оглавление
email@scask.ru