Изоморфизм.

В понятии группы можно различать две стороны. Чтобы задать группу, нужно: 1) указать, какие объекты являются ее элементами, и 2) указать закон перемножения элементов. Сообразно этому и изучение свойств групп можно производить с разных точек зрения. Можно изучать связи между индивидуальными свойствами элементов группы и их совокупностей и свойствами их по отношению к групповой операции. Такой точки зрения часто держатся при изучении отдельных конкретных групп, например при изучении свойств группы движений пространства или плоскости. Однако можно изучать и те свойства групп, которые целиком выражаются через свойства групповой операции. Эта точка зрения характерна для абстрактной или общей теории групп. Более отчетливо она может быть выражена при помощи понятия изоморфизма.

Две группы называются изоморфными, если элементы одной из них можно так сопоставить с элементами другой, что произведению произвольных элементов первой группы будет отвечать произведение соответствующих элементов второй группы. Взаимно однозначное соответствие между элементами двух групп, обладающее указанными свойствами, называется изоморфизмом.

Легко видеть, что элементы двух групп, отвечающие друг другу при изоморфном соответствии, будут обладать одинаковыми свойствами по отношению к групповой операции. Так, при изоморфном соответствии нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы данного порядка подгруппы одной группы переходят Соответственно в нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы того же порядка подгруппы другой группы. Поэтому можно сказать, что абстрактная теория групп изучает лишь те свойства групп, которые сохраняются при изоморфных отображениях. Например, с точки зрения абстрактной теории групп группа всех подстановок четырех элементов и группа собственных и несобственных движений пространства, переводящих в себя фиксированный правильный четырехгранник, обладают одинаковыми свойствами, так как они изоморфны. Действительно, рассматриваемые движения переводят вершины четырехгранника снова в его вершины. Число движений равно 24. Сопоставляя с каждым движением вызываемую им перестановку вершин, мы получим взаимно однозначное соответствие между элементами обеих групп, которое и будет искомым изоморфизмом.

Замечательный пример изоморфного соответствия дает теория логарифмов. Ставя каждому положительному действительному числу в соответствие логарифм этого числа, мы получим взаимно однозначное отображение множества действительных положительных чисел на множество всех положительных и отрицательных действительных чисел. Соотношение показывает, что установленное отображение является изоморфным отображением группы положительных

действительных чисел относительно умножения на группу всех действительных чисел относительно сложения. Практическая важность этого изоморфизма общеизвестна.

Примерами неизоморфных групп могут служить конечные группы различных порядков.

Как уже было сказано выше, абстрактная группа определяется законом умножения элементов, независимо от их природы, так что различные изоморфные между собой конкретно заданные группы можно рассматривать как модели одной и той же абстрактной группы.

Абстрактную группу можно задавать различными способами, из Которых наиболее естественным, по крайней мере для конечных групп, является задание посредством «таблицы умножения».

Для группы порядка элементы которой записаны в каком-либо порядке, такая таблица умножения состоит из квадрата, разделенного на строк и столбцов. В клетке, лежащей в строке и столбце, обозначается элемент, являющийся произведением элемента с номером на элемент с номером Такая таблица умножения для конечной группы иногда называется ее квадратом Кэли.

Однако практически задание группы посредством таблицы умножения почти не употребляется ввиду большой громоздкости.

Существуют и другие способы задания абстрактной группы. С одним из них — заданием группы при помощи производящих элементов и определяющих соотношений — мы еще познакомимся. Однако чаще всего абстрактную группу определяют заданием изоморфной ей конкретной группы, в частности группы преобразований.

Возникает естественный вопрос, можно ли любую абстрактную группу рассматривать как группу преобразований. Ответ дает следующая теорема: каждая группа изоморфна некоторой группе преобразований множества ее элементов.

Действительно, пусть фиксированный элемент из Обозначим через то преобразование множества элементов при котором каждому элементу х из отвечает элемент Преобразование взаимно однозначное, так как уравнение

при любом данном а имеет единственное решение . С другой стороны, произведению элементов группы отвечает произведение соответствующих преобразований ибо

Нейтральному элементу группы отвечает единичное, а обратному элементу обратное преобразование. Поэтому совокупность Г всех преобразований, отвечающих элементам группы является группой преобразований, изоморфной Легко убедиться, что если число элементов больше 2, то совокупность Г не исчерпывает всех преобразований

множества и является лишь подгруппой «симметрической» группы всех преобразований этого множества.