Преобразования.

Пусть М обозначает конечную или бесконечную совокупность совершенно произвольных объектов. Например, М может быть совокупностью чисел совокупностью независимых переменных множеством всех точек плоскости. Если каждому элементу множества М поставлен в соответствие вполне определенный элемент того же множества, то говорят, что задано преобразование множества М. Каждое преобразование конечного множества М можно задать посредством таблицы, состоящей из двух строк: в верхней строке пишутся в произвольном порядке обозначения элементов множества М и под каждым из них записывается обозначение соответствующего ему элемента. Например, таблица 3 21) обозначает преобразование совокупности чисел 1, 2, 3, 4, при котором числа 1, 2, 3, 4 переходят соответственно в числа 2, 3, 2, 1. Располагая в верхней строке числа 1, 2, 3, 4 в порядке 3, 4, 1, 2, мы можем то же самое преобразование записать и таблицей

Если множество М бесконечно, но имеется возможность перечислить (перенумеровать) его элементы, расположив их обозначения в одну

строку (например, если М есть множество всех чисел натурального ряда то преобразование можно задавать аналогичным образом.

Изучая преобразования, нужно ввести для них целесообразные обозначения. Будем обозначать преобразования просто буквами А, В и т. причем если какое-либо преобразование множества М будет обозначено буквой А, то через , где — произвольный элемент из М, будет обозначаться образ элемента , т. е. тот элемент, в который переходит при преобразовании А. Пусть, например, тогда

Укажем несколько преобразований, играющих важную роль в геометрии.

Выберем в пространстве какую-либо прямую а и поставим в соответствие каждой точке Р пространства точку получаемую путем поворота точки Р вокруг оси а на фиксированный угол (рис. 5). Тем самым мы определили преобразование совокупности всех точек пространства, называемое поворотом пространства на угол вокруг оси а.

Заметим, что слово «поворот» в механике означает некоторый процесс, в результате которого точки тела переходят в новое положение.

Рис. 5.

Рис. 6.

Здесь же термин «поворот» употребляется в смысле преобразования пространства. При этом отвлекаются от самого процесса движения и рассматривают только его конечный результат — соответствие начального и конечного положения точек.

Другим важным преобразованием пространства является параллельный перенос всех точек в данном направлении на заданное расстояние. Из рис. 6, на котором для произвольных точек указаны соответствующие точки видно, что, зная при параллельном переносе соответственную точку лишь для одной точки пространства, можно найти соответственные точки для всех других точек пространства.

Выше были определены понятия плоскости, оси и центра симметрии пространственной фигуры. Каждому из этих понятий отвечает определенное преобразование пространства: отражение относительно плоскости, вращение относительно прямой и отражение относительно центра. Например, отражение относительно плоскости есть преобразование, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие точка, симметричная относительно этой плоскости. Аналогично определяется вращение относительно прямой и отражение относительно центра.

Мы говорили о преобразованиях пространства. Соответствующие преобразования плоскости: поворот плоскости вокруг ее точки на данный угол, параллельный перенос плоскости по самой себе в данном направлении, отражение относительно прямой, лежащей в плоскости, — определяются аналогичным образом и являются еще более наглядными, чем аналогичные преобразования пространства.