Собственные значения и собственные векторы операторов.

Задача о собственных значениях и собственных функциях интегрального уравнения, к которой нас привели задачи о колебаниях, формулировалась следующим образом: найти значения X, при которых имеются отличные от нуля функции удовлетворяющие уравнению

Как и ранее, это уравнение может быть переписано так:

или

Будем теперь понимать под А произвольный линейный оператор. Тогда вектор удовлетворяющий равенству (35), называется собственным вектором оператора А, а число у — соответствующим собственным значением.

Так как вектор по направлению совпадает с вектором (отличается от лишь численным множителем), то задача разыскания собственных векторов может быть еще сформулирована как задача о разыскании ненулевых векторов не меняющих своего направления при преобразовании А.

Такая точка зрения на проблему о собственных значениях позволяет объединить задачу о собственных значениях интегральных уравнений (если А — интегральный оператор), дифференциальных уравнений (если А — дифференциальный оператор) и задачу о собственных значениях в линейной алгебре [если А является лйнейным преобразованием в конечномерном пространстве; см. главу VI (том 2) и главу XVI]. Для случая трехмерного пространства эта проблема встречается при отыскании так называемых главных осей эллипсоида.

В случае интегральных уравнений ряд важных свойств собственных функций и собственных значений (например, вещественность собственных значений, ортогональность собственных функций и т. д.) является следствиемсимметричности ядра, т. е. равенства к

Для произвольного линейного оператора А в гильбертовом пространстве аналогом этого свойства является так называемая самосопряженность оператора.

Условие самосопряженности оператора А в общем случае заключается в том, что для любых двух элементов имеет место равенство

где означает скалярное произведение вектора на вектор

Требование самосопряженности оператора в задачах механики является обычно следствием закона сохранения энергии. Поэтому оно удовлетворяется для операторов, связанных, например, с колебаниями, при которых не имеет места потеря (диссипация) энергии.

Большинство операторов, встречающихся в квантовой механике, также являются самосопряженными.

Проверим, что интегральный оператор с симметрическим ядром к является самосопряженным. Действительно, в этом случае есть функция Поэтому скалярное произведение равное интегралу от произведения этой функции на задается формулой

Аналогично

Равенство есть непосредственное следствие симметричности ядра к

Произвольные самосопряженные операторы обладают рядом важнейших свойств, полезных при применении этих операторов к решению разного рода задач. Именно, оказывается, что собственные значения самосопряженного линейного оператора всегда действительны и собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

Докажем, и пример, последнее утверждение. Пусть -два различных собственных аначевия оператора — соответствующие им собственные векторы. Это значит, что

Умножим скалярно первое из равенств (36) на , а второе — на Мы имеем

Так как оператор А самосопряженный, то . Вычитая из первого равенства (37) второе, получаем

Так как , то , т. е. собственные векторы ортогональны.

Исследование самосопряженных операторов внесло ясность во многие конкретные вопросы и задачи, связанные с теорией собственных значений.

Остановимся подробнее на одной из них, а именно на задаче о разложении по собственным функциям в случае непрерывного спектра.

Чтобы пояснить, что значит непрерывный спектр, обратимся снова к классическому примеру колебаний струны. Мы указывали выше, что для струны длины собственные частоты колебаний могут принимать последовательность значений

Отложим на числовой оси точки этой последовательности. Если увеличивать длину струны то расстояние между любыми двумя соседними точками последовательности будет уменьшаться, и они будут всё более плотно заполнять числовую ось. В предельвом случае, когда , т. е. для бесконечной струны, собственные частоты заполнят числовую полуось . В этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр.

Мы уже говорили, что разложение в ряд по собственным функциям для струны длины есть разложение в ряд по синусам и косинусам , т. е. в тригонометрическии ряд

Для случая бесконечной струны снова можно показать, что более или менее произвольную функцию можно разложить по синусам и косинусам. Однако, поскольку собственные частоты распределены теперь по числовой прямой непрерывно, это разложение будет не разложением в ряд, а разложением в так называемый интеграл Фурье

Разложение в интеграл Фурье было давно известно и широко использовалось уже в XIX в. при решении различных задач математической физики.

Однако в более общих задачах с непрерывным спектром многие вопросы, относящиеся к разложению функций по собственным функциям, не были выяснены. Только создание общей теории самосопряженных операторов внесло необходимую ясность в эти вопросы.

Отметим еще один круг классических задач, получивших свое разрешение на основе общей теории операторов. К зтим задачам относится рассмотрение колебаний при наличии диссипации (рассеяния) энергии.

В этом случае мы снова можем искать свободные колебания системы в виде . Однако, в отличие от случая колебаний без диссипации энергии, функция не есть просто а имеет вид где Таким образом, соответствующее решение имеет вид и Каждая точка х в этом случае снова совершает колебания (с частотой однако колебания являются затухающими, так как

при амплитуда этих колебаний, содержащая множителем стремится к нулю.

Удобно записывать собственные колебания системы в комплексной форме: и где при отсутствии трения число действительно, а при наличии трения комплексно.

Задача о колебаниях системы с диссипацией энергии опять приводит к задаче о собственных значениях, но уже не для самосопряженных операторов. Для них характерно наличие комплексных собственных значений, свидетельствующих о затухании свободных колебаний.

Используя методы теории операторов в соединении с методами теории аналитических функций, М. В. Келдыш в 1950-1951 гг. изучил этот класс задач, доказав для него полноту системы собственных функций.