Комплексное линейное пространство.
При описании пространства строк и общего линейного пространства мы не уточняли, о каких числах идет речь, когда определяется действие умножения вектора на число. Так как мы исходили из обобщения обычных векторов, т. е. направленных отрезков в геометрическом трехмерном пространстве, то мы имели в виду любые действительные числа. Построенные таким образом линейные пространства, называемые действительными линей» иыми пространствами, наиболее естественным образом обобщают трехмерное пространство обычных векторов. Однако для многих задач современной математики оказывается полезным рассмотрение комплексного линейного пространства. Под этим термином понимается совокупность объектов, для которых определены действия сложения и умножения на любое комплексное число, причем эти действия удовлетворяют всем аксиомам 1—8. Примером комплексного пространства может служить пространство строк, элементами которых являются любые комплексные числа.
Формально теория комплексных пространств ничем существенно не отличается от теории действительных пространств.
Однако даже двумерное комплексное пространство не имеет наглядной геометрической интерпретации. Дело в том, что 
-мерное комплексное пространство можно рассматривать и как действительное, ибо поскольку для его элементов определено действие умножения на любые комплексные числа, тем самым определено и действие умножения на действительное число. Но размерность комплексного 
-мерного пространства, рассматриваемого как действительное, будет равна 
т. е. вдвое больше. В самом деле, если 
есть базис комплексного пространства, то за базис этого пространства, рассматриваемого как действительное, можно принять, например, векторы
Следовательно, двумерное комплексное пространство может быть интерпретировано как действительное, но четырехмерное.
Далее, теория линейных пространств не претерпевает формально никаких изменений, если в качестве совокупности чисел, на которые
допускается умножение «векторов» пространства, брать какие-либо другие совокупности чисел, отличные от совокупности всех действительных и всех комплексных чисел, лишь бы результаты основных арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления — над числами этой совокупности снова к ней принадлежали. Совокупности чисел, удовлетворяющие этим требованиям, носят название числовых полей. (Более подробно это понятие рассматривается в главе XX.) Примером числового поля может служить, например, поле рациональных чисел.
В некоторых разделах алгебры, близких к теории чисел, с успехом применяется теория линейных пространств над произвольным полем.
