§ 4. ФЕДОРОВСКИЕ ГРУППЫ

Группы симметрий конечных плоских фигур.

Как уже было установлено, симметричность фигуры или тела характеризуется группой движений плоскости или пространства, совмещающих фигуру с собой.

Наиболее просто находятся группы симметрий конечных фигур на плоскости. В самом деле, пусть дана какая-либо конечная фигура на плоскости и пусть эта фигура совмещается сама с собой некоторым движением А. Тогда центр тяжести фигуры О должен движением А

также совмещаться сам с собой, т. е. А есть или поворот около О, или отражение относительно прямой, проходящей через О. Итак, группа симметрий любой конечной плоской фигуры может состоять лишь из поворотов около ее центра тяжести и из отражений относительно прямых, проходящих через центр.

Рассмотрим последовательно различные случаи, которые могут представиться при рассмотрении групп симметрий конечной плоской фигуры.

1. Группу симметрий состоит лишь из единичного (тождественного) преобразования. Это — группа симметрий любой несимметричной фигуры (рис. 13).

2. Группа симметрий состоит из единичного преобразования и отражения около одной прямой (рис. 14).

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

Заметим, что если группа К содержит отражения около двух прямых проходящих через О и образующих угол между собой, то произведение этих отражений будет поворотом вокруг О на угол (рис. 15). Отсюда видно, что группа — единственная из групп симметрий, не содержащая поворотов.

3. Группа симметрий состоит лишь из одних поворотов, среди которых нет поворотов на сколь угодно малый угол. В таком случае среди поворотов в группе найдется поворот на наименьший положительный угол. Пусть этот угол равен Докажем, что любой другой поворот, содержащийся в группе, будет кратен Обозначим число градусов в этом повороте через и найдем такое целое число чтобы откуда Группа имея повороты на и , будет иметь и поворот на Но а группа не содержит положительных поворотов меньше чем на Поэтому . В частности, поскольку группа содержит поворот на 360°, то для некоторого целого имеем откуда

Итак, группа состоит из поворотов на Придавая значения мы получим все типы групп . Пример фигур, группа симметрий которых состоит только из поворотов вокруг О на углы, кратные при приведен на рис. 16.

Рис. 16.

4. Группа симметрий состоит из одних поворотов и содержит сколь угодно малые повороты. Тогда поворот на произвольный угол а можно с любой степенью точности составить из поворотов, принадлежащих группе Нас здесь интересуют, конечно, только замкнутые фигуры, т. е. такие, которые включают в себя все свои граничные точки (см. главу XVII, § 9). Легко установить, что для замкнутых фигур группа содержит повороты на любой угол . Это — случай направленной круговой симметрии, примером которой может служить окружность, кольцевая полоса и т. снабженные некоторым направлением обхода (рис. 17). Здесь при всех допустимых преобразованиях должна совмещаться не только сама фигура, но и направление ее обхода, что исключает отражения относительно прямой.

Рис. 17.

Рис. 18.

Нам остается рассмотреть еще смешанные случаи, когда группа симметрий К содержит и повороты и отражения. Опуская соответствующие доказательства, которые и здесь остаются очень простыми, укажем лишь результат: кроме групп существуют еще группы только следующих двух типов.

5. Группа симметрий состоит из отражений относительно прямых, проходящих через О, делящих плоскость на равных углов, и

из поворотов на углы, кратные Такой группой симметрии обладает, например, правильный -угольник (рис. 18).

6. Группа симметрий состоит из всех поворотов около О и отражений относительно всевозможных прямых, проходящих через центр О. Это — случай полной круговой симметрии, примером которой может служить симметрия ненаправленной окружности или ненаправленного кругового кольца.

Рис. 19.