Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. ФЕДОРОВСКИЕ ГРУППЫ

Группы симметрий конечных плоских фигур.

Как уже было установлено, симметричность фигуры или тела характеризуется группой движений плоскости или пространства, совмещающих фигуру с собой.

Наиболее просто находятся группы симметрий конечных фигур на плоскости. В самом деле, пусть дана какая-либо конечная фигура на плоскости и пусть эта фигура совмещается сама с собой некоторым движением А. Тогда центр тяжести фигуры О должен движением А

также совмещаться сам с собой, т. е. А есть или поворот около О, или отражение относительно прямой, проходящей через О. Итак, группа симметрий любой конечной плоской фигуры может состоять лишь из поворотов около ее центра тяжести и из отражений относительно прямых, проходящих через центр.

Рассмотрим последовательно различные случаи, которые могут представиться при рассмотрении групп симметрий конечной плоской фигуры.

1. Группу симметрий состоит лишь из единичного (тождественного) преобразования. Это — группа симметрий любой несимметричной фигуры (рис. 13).

2. Группа симметрий состоит из единичного преобразования и отражения около одной прямой (рис. 14).

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

Заметим, что если группа К содержит отражения около двух прямых проходящих через О и образующих угол между собой, то произведение этих отражений будет поворотом вокруг О на угол (рис. 15). Отсюда видно, что группа — единственная из групп симметрий, не содержащая поворотов.

3. Группа симметрий состоит лишь из одних поворотов, среди которых нет поворотов на сколь угодно малый угол. В таком случае среди поворотов в группе найдется поворот на наименьший положительный угол. Пусть этот угол равен Докажем, что любой другой поворот, содержащийся в группе, будет кратен Обозначим число градусов в этом повороте через и найдем такое целое число чтобы откуда Группа имея повороты на и , будет иметь и поворот на Но а группа не содержит положительных поворотов меньше чем на Поэтому . В частности, поскольку группа содержит поворот на 360°, то для некоторого целого имеем откуда

Итак, группа состоит из поворотов на Придавая значения мы получим все типы групп . Пример фигур, группа симметрий которых состоит только из поворотов вокруг О на углы, кратные при приведен на рис. 16.

Рис. 16.

4. Группа симметрий состоит из одних поворотов и содержит сколь угодно малые повороты. Тогда поворот на произвольный угол а можно с любой степенью точности составить из поворотов, принадлежащих группе Нас здесь интересуют, конечно, только замкнутые фигуры, т. е. такие, которые включают в себя все свои граничные точки (см. главу XVII, § 9). Легко установить, что для замкнутых фигур группа содержит повороты на любой угол . Это — случай направленной круговой симметрии, примером которой может служить окружность, кольцевая полоса и т. снабженные некоторым направлением обхода (рис. 17). Здесь при всех допустимых преобразованиях должна совмещаться не только сама фигура, но и направление ее обхода, что исключает отражения относительно прямой.

Рис. 17.

Рис. 18.

Нам остается рассмотреть еще смешанные случаи, когда группа симметрий К содержит и повороты и отражения. Опуская соответствующие доказательства, которые и здесь остаются очень простыми, укажем лишь результат: кроме групп существуют еще группы только следующих двух типов.

5. Группа симметрий состоит из отражений относительно прямых, проходящих через О, делящих плоскость на равных углов, и

из поворотов на углы, кратные Такой группой симметрии обладает, например, правильный -угольник (рис. 18).

6. Группа симметрий состоит из всех поворотов около О и отражений относительно всевозможных прямых, проходящих через центр О. Это — случай полной круговой симметрии, примером которой может служить симметрия ненаправленной окружности или ненаправленного кругового кольца.

Рис. 19.

1
Оглавление
email@scask.ru