§ 3. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

1. Итак, Лобачевский принял за основу утверждение, противоположное V постулату: в данной плоскости через точку можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую. Отсюда он вывел ряд далеко идущих следствий, которые и образовали новую геометрию. Эта геометрия строилась, следовательно, как некоторая мыслимая теория, как совокупность теорем, логически доказываемых: исходя из сделанного предположения, в соединении с другими 1 основными посылками эвклидовой или, как говорил Лобачевский, «употребительной» геометрии.

В своих выводах Лобачевский получил все результаты, аналогичные результатам «употребительной» элементарной геометрии, т. е. дошел до неэвклидовой тригонометрии и решения треугольников, до вычисления площадей и объемов. Мы не можем здесь проследить эту цепь выводов Лобачевского не потому, что они слишком сложны, а прежде всего по недостатку места. Ведь и школьный курс «употребительной» геометрии

довольно велик, а выводы Лобачевского, конечно, не проще и не короче этих «употребительных» выводов. Поэтому мы отметим здесь только некоторые поразительные результаты Лобачевского, отсылая читателя, интересующегося более глубоким изучением неэвклидовой геометрии, к специальной литературе. Дальше же мы выясним простой реальный смысл неэвклидовой геометрии.

Начнем с теории параллельных линий. Пусть дана прямая а и точка А вне ее. Опустим из А перпендикуляр на прямую а. По основному предположению существуют по крайней мере две. прямые, проходящие через точку А и не пересекающие нашу прямую а. Тогда всякая (прямая, идущая в угле между этими прямыми, также не пересекает а. На рис. 2 прямые при продолжении пересекут а вопреки предположению Лобачевского. Но в этом нет ничего удивительного. Ведь Лобачевский рассуждал не о чертежах, которые мы делаем на обычной плоскости; он развивал логические следствия из своего предположения, которое противоречит тому, что мы привыкли видеть на чертежах.

Рис. 2.

Рис. 3.

Чертежи здесь играют только вспомогательную роль; на них не изображаются в точности факты неэвклидовой геометрии, поскольку мы проводим на чертеже обычные, в пределах точности чертежа — безусловно эвклидовы — прямые на обычной плоскости.

Это противоречие между логической возможностью и наглядным представлением было главной трудностью в понимании геометрии Лобачевского. Но если речь идет о геометрии как логической теории, то нужно заботиться о логической строгости рассуждений, а не о согласии с привычными чертежами.

2. Вернемся опять к нашей прямой а и точке А. Проведем из А полупрямую х, не пересекающую а (например, перпендикулярную и будем вращать ее вокруг А так, чтобы угол между и х уменьшался, не доводя, однако, эту полупрямую до пересечения с а. Тогда полупрямая

мая х будет стремиться к предельному положению, отвечающему наименьшему значению угла . Эта предельная полупрямая с также не будет пересекать а.

Действительно, если бы она пересекала прямую а в какой-то точке X (рис. 3), то мы могли бы взять точку X правее и получили бы полупрямую пересекающую а, но образующую с больший угол. А это невозможно, так как по построению полупрямой с любая полупрямая х, образующая с больший угол, прямую а уже не пересекает.

Следовательно, полупрямая с не пересекает а и является вместе с тем крайней из всех полупрямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

Рис. 4.

Рис. 5.

По симметрии очевидно, что с другой стороны также можно провести полупрямую с, не пересекающую а и самую крайнюю из всех таких полупрямых. Если бы с и с служили продолжением друг друга, то они образовали бы вместе одну прямую Эта прямая была бы тогда единственной прямой, параллельной а и проходящей через данную точку А, потому что при малейшем ее вращении или с, или с должна была бы пересечь а. А раз предположено, что параллельная не одна, а их по крайней мере две, то полупрямые с и с не являются продолжением друг друга. Итак, мы доказали первую теорему геометрии Лобачевского:

Из точки А, не лежащей на данной прямой а, можно провести две полупрямые с и с так, что они не пересекают прямую а, но любая полупрямая, идущая в угле между ними, пересекает прямую а.

Если продолжить полупрямые с и с, то получим (рис. 4) две прямые, не пересекающие а и обладающие тем свойством, что всякая прямая, проходящая через А в угле а между этими прямыми, не пересекает прямую а, а всякая прямая, проходящая в угле [3, пересекает прямую а. Такие прямые с, с Лобачевский назвал параллельными прямой а: прямую с — параллельной справа, прямую с — параллельной слева. Половину угла (3 Лобачевский назвал углом параллельности, он меньше прямого, поскольку (3 меньше двух прямых.

3. Рассмотрим теперь, как меняется расстояние от точки X на прямой с до прямой а при движении X вдоль с (рис. 5). В эвклидовой

геометрии расстояние между параллельными прямыми постоянно. Здесь же мы убедимся, что при движении точки X направо ее расстояние от а (т. е. длина перпендикуляра убывает.

Опустим из точки перпендикуляр на прямую а. Из точки опустим перпендикуляр на прямую с (точка лежит правее так как угол у острый). Наконец, из точки опустим перпендикуляр опять на прямую а. Докажем, что меньше

Теорема о том, что перпендикуляр короче наклонной, верна и в геометрии Лобачевского, поскольку ее доказательство (которое можно найти в любом школьном учебнике геометрии) не опирается на понятие о параллельных прямых или связанные с ними выводы. А раз перпендикуляр короче наклонной, то как перпендикуляр к прямой с короче и аналогично как перпендикуляр к а короче Следовательно, короче

Далее, опуская на прямую с перпендикуляр из точки и повторяя то же рассуждение, можно убедиться, что короче Продолжая это построение, мы получим последовательность все более и более коротких перпендикуляров, т. е. расстояния точек от прямой а убывают. Дальше, дополняя наше простое рассуждение, можно было бы доказать, что вообще если точка X" на с лежит правее то перпендикуляр короче Мы не будем на ьэтом останавливаться. Проведенное рассуждение, мы надеемся, достаточно выясняет суть дела, а строгие доказательства не входят в нашу задачу.

Но замечательным оказывается, что, как можно доказать, расстояние не только убывает при движении точки X по прямой с вправо, но оно стремится к нулю, когда точка X удаляется в бесконечность. То-есть параллельные прямые а и с асимптотически сближаются. Вместе с тем можно доказать, что в противоположном направлении расстояние между ними не только увеличивается, но и растет до бесконечности.

В эвклидовой геометрии прямая, параллельная данной, проходит от нее на постоянном расстоянии. В геометрии же Лобачевского вообще не существует таких пар прямых, там прямые всегда расходятся до бесконечности или в одну сторону или в обе стороны. Линия же, проходящая на постоянном расстоянии от данной прямой, никогда не будет прямой, а является некоторой кривой, называемой эквидистантой, т. е. равноудаленной.

Эти выводы геометрии Лобачевского поистине поразительны и никак не вяжутся с привычными наглядными представлениями. Но как мы уже говорили, такое несоответствие не может быть аргументом против геометрии Лобачевского как отвлеченной теории, логически развиваемой из принятых предпосылок.

4. Рассмотрим теперь еще угол параллельности, т. е. тот угол у, который образует прямая с, параллельная данной прямой а, с перпендикуляром (рис. 6). Докажем, что этот угол тем меньше, чем дальше

точка С от прямой а. Для этого докажем сначала следующее. Если две прямые образуют с секущей равные углы то эти прямые имеют общий перпендикуляр (рис. 7).

Для доказательства проведем через середину О отрезка прямую перпендикулярную прямой Получим два треугольника Их стороны ОВ и равны по построению. Углы при общей вершине О равны, как вертикальные. Угол а" равен углу а, так как они тоже вертикальные. Угол же а равен углу а по условию. Следовательно, угол а равен также углу Таким образом, у наших треугольников равны стороны О В и и прилежащие к ним углы. А тогда по известной теореме треугольники равны, т. е. равны, в частности, их углы при С и С. Но угол С прямой, так как по построению прямая перпендикулярна Следовательно, угол С также прямой, т. е. перпендикулярна также и к прямой Таким образом, отрезок является общим перпендикуляром к обеим прямым

Рис. 6.

Рис. 7.

Существование общего перпендикуляра доказано.

Теперь докажем, что угол параллельности убывает с увеличением расстояния от прямой. То-есть, если точка С лежит от прямой а дальше, чем С, как на рис. 6, то параллель с, идущая из образует с перпендикуляром меньший угол, чем параллель с, идущая из С.

Для доказательства проведем из С прямую с под тем же углом к СА, под каким идет параллель с. Тогда прямые с' и с" образуют с секущей равные углы. Поэтому, как только что доказано, они имеют общий перпендикуляр Тогда из основания В этого перпендикуляра можно провести прямую параллельную с и образующую с перпендикуляром угол меньше прямого, потому что, как мы уже знаем, параллель образует с перпендикуляром угол меньше прямого. Возьмем теперь в угле между любую точку М и проведем прямую Она войдет в угол между и дальше уже не сможет пересечь Тем более она не будет пересекать прямую с. Но она образует с уже меньший угол, чем т. е. угол меньший у. Тем более, еще меньший угол будет образовывать параллель с, поскольку она является самой крайней

из всех прямых, идущих из С и не пересекающих а. Следовательно, параллель с образует с СА угол меньший, чем с, а это и значит, что угол параллельности убывает при переходе к более далекой точке что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали, что угол параллельности убывает по мере удаления точки С от прямой а. Но оказывается, можно доказать и более того: если точку С удалять в бесконечность, то этот угол стремится к нулю. -есть на сколь угодно большом расстоянии от прямой а параллель к ней образует с перпендикуляром к этой прямой сколь угодно малый угол

Рис. 8.

Рис. 9.

Иначе говоря, если очень далеко от прямой а отклониться от перпендикуляра к ней на очень малый угол, то мы вовсе не пересечем прямую а, идя по «отклонившейся» прямой. Этот факт геометрии Лобачевского также производит удивительное впечатление. Но дальше можно получить и другие, не менее удивительные результаты.

Например, возьмем острый угол а, образуемый полупрямыми а и а. Проведем перпендикуляр к а настолько далеко от вершины О угла а, чтобы угол параллельности, соответствующий взятому расстоянию (рис. 8), был меньше а. Раз угол а больше угла параллельности, то прямая проведенная из О параллельно образует с а меньший угол. Но она не пересекает прямую Следовательно, а тем более ее не пересекает. Этим доказано, что перпендикуляр к стороне острого угла, проведенный достаточно далеко от вершины, не пересекает другую сторону.

5. Мы привели все предыдущие выводы с двоякой целью. Во-первых, и это главное, мы хотели показать на самых простых примерах, как фактически можно получать теоремы геометрии Лобачевского, исходя из принятых предпосылок. Это служит простейшим примером того, как вообще математики получают выводы в абстрактной геометрии, как вообще можно получить такие выводы, не связанные с привычными наглядными

представлениями. Во-вторых, мы хотели показать, сколь своеобразные результаты получаются в геометрии Лобачевского. Приведем еще примеры.

Две прямые в плоскости Лобачевского либо пересекаются, либо параллельны в смысле Лобачевского, и тогда они в одну сторону асимптотически сближаются, а в другую — бесконечно расходятся, либо они имеют общий перпендикуляр и в обе стороны от него бесконечно расходятся.

Если прямые имеют общий перпендикуляр (рис. 9), то к прямой а можно провести два перпендикуляра параллельные (в смысле Лобачевского) прямой вся прямая лежит в полосе между прямыми

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а некоторая кривая, называемая предельной окружностью. Через три точки, не лежащие на одной прямой, не всегда можно провести окружность, а либо окружность, либо предельную окружность, либо эквидистанту (т. е. линию, образованную точками, равноудаленными от некоторой прямой).

Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых. Если треугольник увеличивается так, что все три его высоты неограниченно возрастают, то все три его угла стремятся к нулю.

Не существует треугольников сколь угодно большой площади.

Два треугольника равны, если их углы равны.

Длина окружности I не пропорциональна радиусу а растет быстрее (в основном по показательному закону). Именно, имеет место формула

где к — постоянная, зависящая от единиц длины. Так как

то из формулы (1) получаем:

И только при малых отношениях с достаточной точностью получается, что

Все эти выводы являются логическими следствиями принятых предпосылок: «аксиомы Лобачевского» в соединении с основными положениями «употребительной» геометрии.

6. Чрезвычайно важное свойство геометрии Лобачевского заключается в том, что в достаточно малых областях она мало отличается от геометрии Эвклида; чем меньше область, тем это различие меньше.

Так, для достаточно малых треугольников связь сторон и углов с достаточной точностью выражается формулами обычной тригонометрии и притом тем точнее, чем меньше треугольник.

Формула (2) показывает, что при малых радиусах длина окружности с хорошей точностью пропорциональна радиусу. Точно так же сумма углов треугольника мало отличается от двух прямых и т. п.

В формулу для длины окружности входит постоянная к, зависящая от единиц длины. Если радиус мал в сравнении с к, т. е. если мало, то, как видно из формулы (2), длина близка к . Вообще, чем меньше отношение размеров фигуры к этой постоянной, тем точнее свойства фигуры подходят к свойствам соответствующей фигуры в эвклидовой геометрии.

Мерой отклонения свойств фигуры геометрии Лобачевского от свойств фигуры эвклидовой геометрии служит отношение если измеряет размеры фигуры (радиус окружности, стороны треугольника и т. п.).

Отсюда вытекает важный вывод.

Пусть мы имеем дело с реальным пространством и измеряем расстояние в километрах. Допустим, что постоянная к при этом очень велика, скажем равна

Тогда, например, по формуле (2) для окружности с радиусом даже в 100 км отношение ее длины к радиусу будет отличаться от меньше, чем на одну миллиардную. Того же порядка будут откловения от других соотношений эвклидовой геометрии. В пределах одного километра они будут уже порядка т. е. , а в пределах метра — порядка , т. е. будут совсем ничтожными. Таких отклонений от эвклидовой геометрии уже нельзя было бы заметить, потому что даже размеры атома в сто раз больше (они составляют величину порядка км).

С другой стороны, для астрономических масштабов отношение могло бы оказаться уже не слишком малым.

Поэтому Лобачевский и допускал, что, хотя в обычных масштабах геометрия Эвклида и верна с большой точностью, отклонения от нее можно будет заметить посредством астрономических наблюдений. Как уже было сказано, само это допущение оправдалось, но те незначительные отклонения от эвклидовой геометрии, которые обнаружены теперь в астрономических масштабах, оказываются еще более сложными.

Наконец, из приведенных рассуждений следует еще другой важный вывод. Именно: раз отклонения от эвклидовой геометрии тем меньше, чем больше постоянная к, то в пределе, при неограниченном увеличении ее, геометрия Лобачевского переходит в геометрию Эвклида. То-есть геометрия Эвклида есть не более как предельный случай геометрии Лобачевского. Поэтому если к геометрии Лобачевского присоединить и этот ее предельный случай, то она охватит также геометрию Эвклида, оказываясь в этом смысле более общей теорией. Соответственно этому Лобачевский называл свою теорию «пангеометрией», т. е. общей геометрией. Такое соотношение теорий постоянно обнаруживается в развитии математики и естествознания: новая теория включает старую как предельный случай, соответственно движению познания от более частных выводов к более общим.

Однако все приведенные рассуждения и выводы оставались как бы мало понятной игрой ума, если бы не был установлен сравнительно простой реальный смысл геометрии Лобачевского в системе уже привычных понятий эвклидовой геометрии. Решение этой задачи не было доведено до конца самим Лобачевским; оно осталось на долю его последователей и было получено почти 40 лет спустя после выхода в свет первой его работы В чем состоит это решение, мы расскажем в следующем параграфе.