§ 4. КОМБИНАТОРНЫЙ МЕТОД

Исторически первой теоремой, относящейся к топологии, является теорема или формула Эйлера (по видимому, известная еще Декарту). Она заключается в следующем. Возьмем поверхность произвольного выпуклого многогранника. Обозначим через число ее вершин, через а, число ребер и через число граней; тогда имеет место следующее соотношение, которое и известно под названием формулы Эйлера:

Эта геометрическая теорема именно потому относится к топологии, что наша формула, очевидно, останется верной, если мы подвергнем рассматриваемый выпуклый многогранник произвольному топологическому преобразованию. При таком преобразовании ребра, вообще говоря, перестанут быть прямолинейными, грани — плоскими, поверхность многогранника перейдет в кривую поверхность, но соотношение (1) между числом вершин и числами теперь уже кривых ребер и граней останется в силе. Наиболее важен случай, когда все грани треугольные и мы имеем так называемую триангуляцию (разбиение нашей поверхности на треугольники — прямолинейные или криволинейные). К этому случаю легко приводится общий случай любых многоугольных граней: достаточно разбить эти грани на треугольники (например, проведением диагоналей из какой-либо вершины данной грани). Таким образом, мы можем ограничиться именно случаем триангуляций. Комбинаторный метод в топологии поверхностей и заключается в том, что изучение этой поверхности заменяется изучением ее триангуляций, причем нас интересуют, конечно, только те свойства триангуляций, которые не зависят от случайного выбора той или иной триангуляции, а, будучи общими для всех триангу ляций данной поверхности, выражают некоторое свойство самой поверхности.

Формула Эйлера приводит нас к одному из таких свойств, и "мы им сейчас займемся несколько подробнее. Левая часть формулы Эйлера, т. е.

выражение где число вершин, — число ребер и число треугольников в данной триангуляции, называется эйлеровой характеристикой этой триангуляции. Теорема Эйлера утверждает, что для всех триангуляций поверхности, гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика равна двум. Оказывается, что для всякой поверхности (а не только поверхности, гомеоморфной сфере) все триангуляции этой поверхности имеют одну и ту же эйлерову характеристику.

Легко сообразить, каково будет значение эйлеровой характеристики для различных поверхностей. Прежде всего, для цилиндрической поверхности оно равно нулю. В самом деле, удалив из какой-либо триангуляции сферы два не соприкасающиеся между собой треугольника, но сохраняя границы этих треугольников, мы, очевидно, получим триангуляцию поверхности, гомеоморфной боковой поверхности цилиндра. При этом число вершин и ребер осталось прежним, а число треугольников уменьшилось на 2, поэтому эйлерова характеристика полученной триангуляции равна нулю. Возьмем теперь поверхность, полученную из триангуляции сферы посредством удаления треугольников этой триангуляции, попарно не соприкасающихся (т. е. не имеющих ни общих вершин, ни общих сторон). При этом эйлерова характеристика уменьшается на единиц. Легко убедиться в том, что при заклеивании каждой пары образовавшихся в поверхности сферы отверстий цилиндрической трубкой эйлерова характеристика не изменится. Это происходит оттого, что характеристика самой приклеиваемой трубки равна, как мы видели, нулю, а на краях этой трубки число вершин равно числу ребер. Итак, замкнутая двусторонняя поверхность рода имеет эйлерову характеристику (факт, впервые доказанный французским адмиралом де Жонкьером).

Приведем еще одно важное свойство триангуляций, удовлетворяющее так называемому условию топологической инвариантности (т. е. принадлежащее каждой триангуляции данной поверхности, если оно принадлежит хотя бы одной из них). Это — свойство ориентируемости. Прежде чем его формулировать, заметим, что каждый треугольник можно ориентировать, т. е. снабдить его границу определенным направлением обхода. Каждая из двух возможных ориентаций треугольника задается определенным порядком следования его вершин 2. Предположим теперь, что на какой-нибудь поверхности даны два треугольника, примыкающие

друг к другу по общей стороне и не имеющие других общих точек (рис. 17). Две ориентации этих треугольников называются согласованными, если они порождают на общей стороне треугольников противоположные направления. (На плоскости или на любой другой двусторонней поверхности это означает, что оба треугольника — если смотреть на них с одной стороны поверхности — обходятся в одном направлении, т. е. либо оба против, либо оба по часовой стрелке.) Триангуляция данной замкнутой поверхности называется ориентируемой, если ориентации всех входящих в эту триангуляцию треугольников можно выбрать так, что любые два прилегающие по общей стороне треугольника окажутся ориентированными согласованно. Имеет место такой факт: всякая триангуляция двусторонней поверхности ориентируема, всякая триангуляция односторонней поверхности неориентируема.

Рис. 17.

Рис. 18.

Поэтому двусторонние поверхности называются также ориентируемыми, а односторонние — неориентируемыми. Взяв произвольную триангуляцию листа Мёбиуса, читатель без труда убедится в ее неориентируемости. Чтобы получить простейшую триангуляцию проективной плоскости, надо на ней провести какие-либо три прямые, не проходящие через одну точку (рис. 18). Они разобьют проективную плоскость на четыре треугольника, из которых один лежит в конечной части плоскости, а три других рассечены, каждый на две части, бесконечно удаленной прямой. На рис. 18 один из этих трех уходящих в бесконечность треугольников заштрихован. На этом же чертеже видно, что, пытаясь придать всем четырем треугольникам согласованные ориентации, мы неизбежно приходим к неудаче. В частности, при сделанном на рис. 18 выборе ориентаций наших четырех треугольников, мы в качестве алгебраической суммы их границ вместо нуля, который получился бы при согласованных ориентациях, получаем дважды взятую прямую

Эйлерова характеристика и свойство ориентируемости или неориентируемости замкнутых поверхностей дают нам, как говорят, полную систему топологических инвариантов замкнутых поверхностей. Смысл

этого высказывания заключается в том, что две поверхности тогда и только тогда гомеоморфны, когда триангуляции этих поверхностей, во-первых, имеют одну и ту же эйлерову характеристику и, во-вторых, обе ориентируемы или обе неориентируемы.

Комбинаторный метод применяется не только к изучению поверхностей (двумерных многообразий), но и многообразий любого числа измерений. Но, например, в случае трехмерных многообразий роль обычных триангуляций играют уже разбиения на тетраэдры. Их называют трехмерными триангуляциями или симплициальными разбиениями многообразия. Под эйлеровой характеристикой трехмерной триангуляции понимается число где , есть число -мерных элементов этой триангуляции (т. е. — число вершин, а, — число ребер, — число двумерных граней, — число тетраэдров). При числе измерений многообразие разбивают на n-мерные симплексы, т. е. простейшие выпуклые -мерные многогранники, аналогичные треугольникам и тетраэдрам Симплексы, на которые разбито -мерное многообразие, и их грани образуют -мерную триангуляцию этого многообразия. Попрежнему можно говорить об эйлеровой характеристике, понимая под ней сумму где — число входящих в данную триангуляцию -мерных элементов и попрежнему эйлерова характеристика имеет одно и то же значение для всех триангуляций данного -мерного многообразия (и всех многообразий, гомеоморфных данному), т. е. является топологическим инвариантом. Но о полной системе инвариантов (в том смысле, в каком она для поверхностей дается эйлеровой характеристикой и ориентируемостью) мы даже для трехмерных многообразий при настоящем уровне наших знаний не можем и мечтать!

Значение комбинаторного метода в современной топологии очень велико. Этот метод открывает возможность применять некоторые алгебраические приемы в решении топологических задач. Возможность такого алгебраического подхода внимательный читатель мог уже усмотреть выше, когда мы говорили об алгебраической сумме границ ориентированных треугольников в триангуляции проективной плоскости. В самом деле, если треугольник ориентирован, т. е. снабжен определенным направлением обхода, то за его границу естественно принять совокупность его сторон, взятых каждая также с определенным направлением — тем, которое порождается имеющимся обходом треугольников.

Рассмотрим теперь все треугольники входящие в данную триангуляцию некоторой поверхности. Каждому из них можно придать две ориентации; треугольник Т, с одной из двух

возможных ориентаций обозначим через а тот же треугольник с другой (противоположной) ориентацией — через Точно так же каждый из одномерных элементов входящих в данную триангуляцию, можно ориентировать, т. е. снабдить его одним из двух возможных направлений. Отрезок Т с одной из ориентаций обозначим через с другой - через . Тогда, если сторонами треугольника Т являются отрезки то границей ориентированного треугольника является совокупность тех же сторон, но взятых с определенными направлениями, т. е. граница состоит из направленных отрезков здесь если это направление для ребра совпадает с его собственным направлением в противном случае. Границу Р. обозначают через Как видим, причем эту сумму можно представлять себе распространенной на все ребра нашей триангуляции, считая, что коэффициенты при отрезках, не входящих в границу треугольника равны нулю.

Становится естественным рассматривать вообще суммы вида распространенные по всем ребрам данной триангуляции. Геометрический смысл таких сумм очень прост: ведь каждое слагаемое суммы есть некоторый отрезок, входящий в нашу триангуляцию, взятый с определенным направлением и определенным коэффициентом (определенной «кратностью»). Вся же написанная алгебраическая сумма выражает составленный из отрезков путь, в котором каждый отрезок считается столько раз, сколько указывает стоящий при нем коэффициент. Например, если мы сначала проходим многоугольник (рис. 19) в показанном стрелкой направлении, потом переходим по отрезку на многоугольник проходимый в указанном на нем направлении, затем возвращаемся по отрезку назад и проходим многоугольник снова в том же, что и раньше, направлении, то получаем сумму, в которую отрезки войдут с коэффициентом 2, отрезки — с коэффициентом 1, а отрезок АА вовсе не войдет (он будет иметь коэффициент нуль, так как он оказывается пройденным два раза в двух противоположных направлениях).

Суммы вида — называются одномерными цепями данной триангуляции. С алгебраической точки зрения они представляют собой линейные формы (однородные многочлзны первой степеии); их можно складывать и вычитать, а такке умножать на любое целое число по обычным правилам алгебры. Среди одномерных цепей особенно важными являются так называемые одномерные циклы. Геометрически они соответствуют

ветствуют замкнутым путям (именно о таком пути была только что речь в связи с рис. 19).

Для чисто алгебраического определения цикла условимся из двух вершин направленного отрезка считать конечную вершину В входящей в границу отрезка со знаком плюс (с коэффициентом а начальную вершину А — со знаком минус (с коэффициентом —1). Тогда границу отрезка А В можно записать в виде

Приняв такое соглашение, мы непосредственно замечаем, что сумма границ отрезков образующих замкнутый (в обычном смысле слова) путь, равна нулю. Это делает естественным общее определение одномерного цикла, как такой одномерной цепи сумма границ к звеньев которой, т. е. сумма равна нулю.

Рис. 19.

Легко к проверить, что сумма двух циклов есть цикл. Умножая цикл как алгебраическое выражение на какое-либо целое число, получим опять цикл. Это позволяет говорить о линейных комбинациях циклов т. е. о циклах вида где с, — целые числа.

Аналогично понятию одномерной цепи данной триангуляции можно говорить и о двумерных цепях этой триангуляции, т. е. о выражениях вида где — ориентированные треугольники данной триангуляции. Так как граница каждого ориентированного треугольника есть одномерный цикл, то циклом является и цепь Именно этот цикл считается границей цепи

Понятие границы цепи позволяет далее сформулировать понятие гомологии: одномерный цикл данной триангуляции называется гомологичным нулю в этой триангуляции, если он является границей некоторой двумерной цепи этой триангуляции. Во всякой триангуляции замкнутой выпуклой поверхности и вообще любой поверхности, гомеоморфной сфере, всякий одномерный цикл гомологичен нулю; геометрически это совершенно ясно: каждый замкнутый многоугольник на выпуклой поверхности является границей некоторого куска этой поверхности. Не то на торе: меридиан тора, так же как и его экватор, не является границей какого-либо куска этой поверхности. Если взять какую-либо триангуляцию тора, то в ней найдутся циклы, аналогичные

меридиану и экватору тора, и эти циклы не будут гомологичны нулю.

Совершенно новое явление мы наблюдаем на построенной выше триангуляции проективной плоскости. Если рассматривать прямую, например прямую (см. рис. 18), как цикл этой триангуляции, то этот цикл не гомологичен на ней нулю. Однако та же прямая, взятая с коэффициентом 2, уже оказывается гомологичной нулю. Таким образом, привлечение коэффициентов, отличных от при определении цепи, которое кажется сначала формальным и ненужным, позволяет уловить важные геометрические свойства поверхностей и вообще многообразий. В данном случае это так называемое свойство кручения, заключающееся в существовании циклов, которые в данном многообразии не гомологичны нулю (не ограничивают никакого куска поверхности), но становятся гомологичными нулю, если снабдить их некоторым целочисленным коэффициентом.

Рис. 20.

В связи со сказанным введем, наконец, чрезвычайно важное понятие гомологической независимости циклов. Циклы называются гомологически независимыми в данной триангуляции, если никакая их линейная комбинация в которой хотя бы один коэффициент с - отличен от нуля, не гомологична нулю в этой триангуляции. Примерами гомологически независимых циклов на торе могут служить какой-либо меридиан и экватор тора, рассматриваемые как циклы некоторой триангуляции тора.

Основные понятия всей комбинаторной топологии — понятия границы, цикла, гомологии — определены нами для одномерных образований, но они дословно переносятся и на любое число измерений. Так, например, двумерная цепь называется циклом, если ее граница равна нулю. Трехмерная цепь есть выражение вида где — ориентированные трехмерные симплексы (тетраэдры).

Как и в случае треугольника, ориентация трехмерного симплекса (тетраэдра) задается определенным порядком его вершин, причем два порядка вершин, переходящие друг в друга при четной перестановке, определяют одну и ту же ориентацию. Граница трехмерного ориентированного симплекса есть двумерная цепь (цикл) (рис. 20). Граница трехмерной цепи определяется как сумма границ ее симплексов, взятых с теми коэффициентами, с которыми эти симплексы входят в данную цепь. Читатель легко проверит, что граница любой трехмерной цепи есть

двумерный цикл (это достаточно доказать для границы одного трехмерного симплекса). Мы говорим, что двумерный цикл гомологичен нулю в данном многообразии, если он является границей некоторой трехмерной цепи этого многообразия. И так далее. Заметим, что из данного выше определения ориентируемых и неориентируемых триангуляций сразу следует, что во всякой ориентируемой триангуляции имеются (в случае поверхностей — двумерные) циклы, отличные от нуля, а в неориентируемых триангуляциях таких циклов нет; этот результат также непосредственно обобщается на любое число измерений.

Введенные понятия позволяют определить порядок одномерной, двумерной и т. д. связности данных многообразий произвольного числа измерений. Максимальное число имеющихся в какой-либо триангуляции данного многообразия гомологически независимых одномерных, двумерных и т. д. циклов не зависит от выбора триангуляций данного многообразия и называется его порядком связности, или числом Бетти (соответствующей размерности).

Одномерное число Бетти замкнутой ориентируемой поверхности рода равно (т. е. порядку связности поверхности, как он определялся в § 2). Одномерное число Бетти проективной плоскости равно 0. (Там всякий цикл, не уходящий в бесконечность, ограничивает часть плоскости, т. е. гомологичен нулю, а цикл, уходящий в бесконечность, например проективная прямая, оказывается гомологичным нулю, если взять его дважды.) Двумерное число Бетти всякой неориентируемой поверхности равно нулю (на такой поверхности нет ни одного отличного от нуля двумерного цикла).

Двумерное число Бетти всякой ориентируемой поверхности равно 1. Действительно, если ориентировать надлежащим образом все треугольники какой-нибудь триангуляции ориентируемой поверхности, получим цикл (так называемый основной цикл поверхности). Нетрудно проследить, что всякий двумерный цикл получается из основного цикла умножением его на какое-нибудь целое число. Эти результаты непосредственно обобщаются и на -мерные многообразия. Заметим еще, что нульмерное число Бетти связного (т. е. не распадающегося на куски) многообразия считается равным 1.

Числа Бетти различных измерений связаны с эйлеровой характеристикой многообразия замечательной формулой, доказанной Пуанкаре и обобщающей теорему Эйлера. Эта формула, известная под названием формулы Эйлера—Пуанкаре, имеет следующий простой вид:

Здесь слева стоит эйлерова характеристика произвольной триангуляции данного многообразия, а числа справа суть числа Бетти различных размерностей этого многообразия. В частности, для ориентируемых поверхностей имеем, как мы только что видели, где род поверхности. Это и дает нам теорему Эйлера для ориентируемых поверхностей