§ 8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

Во всех рассмотренных в предыдущих параграфах конкретных случаях группы обычно появлялись как группы преобразований тех или иных множеств. Исключение составляли лишь группы чисел относительно сложения и умножения. Теперь мы хотим разобрать важный пример, когда с самого начала группа возникает не как группа преобразований, а именно как некоторая алгебраическая система с одним действием.

Фундаментальная группа. Рассмотрим некоторую поверхность и на ней подвижную точку М. Заставляя М пробегать на поверхности непрерывную кривую, соединяющую точку А с точкой В, мы получим определенный путь из А в В. Этот путь может пересекать сам себя любое число раз и даже может идти сам по себе на отдельных участках. Чтобы указать путь, мало задать только кривую, по которой перемещается точка М. Нужно еще указать участки, которые эта точка проходит несколько раз, и направление их прохождения. Например, точка может пробегать одну и ту же окружность различное число раз и в различных направлениях, причем все эти круговые пути считаются различными. Два пути с одинаковыми начальными и конечными точками называются эквивалентными, если один из них можно перевести в другой непрерывным изменением.

Рис. 21.

Рис. 22.

Рис. 23.

На плоскости или сфере любые два пути, соединяющие точку А с точкой В, эквивалентны (рис. 21). Однако на: поверхности тора, например, замкнутые пути и V (рис. 22), выходящие и оканчивающиеся в точке А, не эквивалентны друг другу.

Если вместо тора рассмотреть бесконечно простирающийся в обе стороны круговой цилиндр и на нем взять путь X (рис. 23), то легко сообразить, что любой замкнутый путь с начальной точкой А, проведенный на цилиндре, будет эквивалентен пути вида

где под следует понимать путь X, повторенный раз; под нулевой путь, состоящий лишь из одной точки А, а под пробегаемый в обратную сторону, например: . Этот пример показывает значение понятия эквивалентности путей: в то время как различных замкнутых путей на цилиндре существует необрзримое множество, с точностью до эквивалентности все эти пути сводятся только к окружности X, пробегаемой в том или ином направлении достаточное число раз. При пути не эквивалентны.

Возвращаясь к рассмотрению произвольной поверхности, предположим, что нам заданы на ней два пути — путь ведущий из точки А в точку В, и путь V, ведущий из в точку С. Тогда, заставляя сна чала точку пробежать путь , а затем мы получим путь который естественно назвать произведением путей и обозначить через Если пути соответственно эквивалентны путям то произведения их будут также эквивалентны. Умножение путей ассоциативно в том смысле, что если одно из произведений или определено, то другое также определено и оба представляют эквивалентные пути. Если подвижную точку М заставить пробегать какой-нибудь путь в противоположном направлении, то получится обратный путь , ведущий из точки В в точку А. Произведение пути на обратный ему путь В А будет замкнутым путем, эквивалентным нулевому пути, состоящему лишь из одной точки А.

Согласно определению, перемножать можно не любые два пути, а лишь такие, у которых конечная точка первого пути совпадает с начальной точкой второго. Этот недостаток исчезает, если рассматривать лишь замкнутые пути, выходящие из одной и той же начальной точки А. Любые два такие пути можно перемножить, в результате чего снова получится замкнутый путь с начальной точкой А. Кроме того, для каждого замкнутого пути с начальной точкой А обратный путь обладает теми же свойствами.

Условимся теперь эквивалентные пути считать различными представителями одного и того же «пути», лишь проведенного различными способами на поверхности., а неэквивалентные пути будем считать представителями существенно различных «путей». Приведенные выше замечания показывают, что в таком случае совокупность всех замкнутых путей (кавычки мы опускаем), выходящих из какой-либо точки А поверхности, будет являться группой относительно операции умножения путей. Единичным (нейтральным) элементом этой группы будет нулевой путь, а обратным элементом для данного пути будет служить этот же путь, только проходимый в обратном направлении.

Группа путей, вообще говоря, зависит не только от вида поверхности, но и от выбора начальной точки А. Однако если поверхность

не распадается на отдельные куски, т. е. если любые ее две точки могут быть соединены непрерывным путем, лежащим на поверхности, то группы путей, отвечающих различным точкам, будут изоморфными, и в этом случае можно говорить просто о группе путей поверхности не указывая точки А. Эта группа путей поверхности и называется ее фундаментальной группой.

Если поверхность есть плоскость или сфера, то группа путей состоит лишь из единичного элемента, так как на плоскости и на сфере любой путь стягивается в точку. Однако уже на поверхности бесконечного кругового цилиндра, как мы видели, есть замкнутые пути, не стягиваемые в одну точку. Поскольку всякий замкнутый путь на цилиндре, выходящий из точки А, эквивалентен некоторой степени пути X (рис. 23), причем различные степени X между собой не эквивалентны, группа путей цилиндрической поверхности является бесконечной циклической группой. Можно доказать, что группа путей тора (рис. 22) состоит из путей вида причем только при (напоминаем, что при рассмотрении группы путей равенство путей понимается в смысле их эквивалентности).

Важность группы путей объясняется следующим ее свойством. Допустим, что, кроме поверхности дана другая поверхность такая, что между точками поверхностей можно установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Например, такое соответствие возможно, если поверхность получена из посредством некоторой непрерывной деформации без разрывов и без склеиваний различных точек поверхности. Каждому пути на исходной поверхности будет соответствовать путь на поверхности При этом эквивалентным путям будут соответствовать эквивалентные, произведению двух путей — произведение, так что группа путей на поверхности будет изоморфна группе путей на поверхности Иначе говоря, группа путей, рассматриваемая с абстрактной точки зрения, т. е. с точностью до изоморфизма, является инвариантом при всевозможных взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях поверхности. Если группы путей для двух поверхностей различны, то соответствующие поверхности не могут быть переведены непрерывно одна в другую. Так, например, плоскость не может быть без склеиваний и разрывов деформирована в цилиндрическую поверхность, потому что группа путей плоскости состоит из единичного элемента, а группа путей цилиндра бесконечна.

Свойства фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях, изучаются в особой математической дисциплине топологии, основные идеи которой были освещены в главе XVIII. Инварианты непрерывных преобразований называются топологическими инвариантами. Группа путей является одним из замечательнейших примеров топологических инвариантов. Ясно, что

группа путей может быть определена не только для поверхности, но и для любых множеств точек, лишь бы в этих множествах можно было говорить о путях и их деформациях.