§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

В предыдущем параграфе мы видели, что задачи о колебаниях упругой системы приводятся к вопросу о разыскании собственных значений и собственных функций интегральных уравнений. Заметим, что эти задачи можно также свести к отысканию собственных значений и собственных функций линейных дифференциальных уравнений. К задачам вычисления собственных значений и собственных функций линейных дифференциальных или интегральных уравнений сводятся и многие другие физические задачи.

Укажем еще один пример. В современной радиотехнике широко используются для передачи электромагнитных колебаний высоких частот так называемые волноводы, т. е. полые металлические трубы, внутри которых распространяются электромагнитные волны. Известно, что по волноводам могут распространяться электромагнитные колебания не слишком большой длины волны. Отыскание критической длины волны сводится к задаче на собственные значения некоторого дифференциального уравнения.

Кроме того, задачи на собственные значения встречаются в линейной алгебре, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в задачах на устойчивость и т. д.

Возникла необходимость в рассмотрении всех этих сходных между собой вопросов с единой общей точки зрения. Такой точкой зрения

явилась общая теория линейных операторов. Многие вопросы, относящиеся к собственным функциям и собственным значениям в различных конкретных задачах, удалось понять до конца только в свете общей теории операторов. Таким образом, в этом и ряде других направлений общая теория операторов сама оказалась весьма плодотворным орудием исследования в породивших ее областях.

В дальнейшем развитии теории операторов существеннейшим этапом явилась квантовая механика, широко использующая методы теории операторов. Основным математическим аппаратом квантовой механики и является теория так называемых самосопряженных операторов. Постановка математических задач, возникающих в квантовой механике, явилась и является важнейшим стимулом для дальнейшего развития функционального анализа.

Операторная точка зрения на дифференциальные и интегральные уравнения оказалась чрезвычайно полезной также для развития практических приближенных методов решения этих уравнений.

Основные понятия теории операторов.

Перейдем к изложению основных определений и фактов, относящихся к теории операторов.

В анализе мы уже встречались с понятием функции. В простейшем виде это было соответствие, которое каждому числу х (значению независимой переменной) ставило в соответствие число у (значение функции). При дальнейшем развитии анализа возникла потребность в рассмотрении соответствий более общего типа.

Такие более общие соответствия рассматриваются, например, в вариационном исчислении (том 2, глава VIII), где каждой функции сопоставляется число. Если каждой функции ставится в соответствие число, то мы говорим, что нам задан функционал. Примером функционала может служить сопоставление каждой функции длины дуги изображаемой ею кривой. Мы получим другой пример функционала, если каждой функции поставим в соответствие ее определенный интеграл Если считать точкой бесконечномерного пространства, то функционал есть не что иное, как функция от точки бесконечномерного пространства. С этой точки зрения в вариационном исчислении изучаются задачи об отыскании максимумов и минимумов функции от точки бесконечномерного пространства.

Для того чтобы определить, что означает непрерывный функционал, нужно определить, что означает близость двух точек бесконечномерного пространства. В § 2 мы задавали расстояние между двумя функциями [точками бесконечномерного пространства как Такой способ задания расстояния в бесконечномерном

пространстве часто употребляется, но не является, конечно, единственно возможным. В других вопросах могут оказаться лучшими другие способы задания расстояния между функциями. Укажем, например, на задачи теории приближения функций (см. том 2, главу XII, § 3), где расстояние между функциями, характеризующее меру близости двух функций задается, например, формулой

Другие способы задания расстояния между функциями употребляются при изучении функционалов в вариационном исчислении.

Различные способы задания расстояния между функциями приводят нас к различным бесконечномерным пространствам.

Таким образом, разные бесконечномерные (функциональные) пространства различаются между собой запасом функций и определением расстояния между ними. Так, например, если взять совокупность всех функций с интегрируемым квадратом и определить расстояние как то мы придем к введенному в § 2 гильбертову пространству; если же взять совокупность всех непрерывных функций и определить расстояние как мы получим так называемое пространство (С).

При рассмотрении интегральных уравнений мы сталкиваемся с выражениями вида

При заданном ядре к написанное равенство указывает закон, по которому каждой функции ставится в соответствие другая функция

Такого рода соответствие, относящее одной функции другую функцию называется оператором.

Будем говорить, что нам задан линейный оператор А в гильбертовом пространстве, если дан закон, по которому каждой функции ставится в соответствие функция Соответствие может быть задано и не для всех функций гильбертова пространства. В этом случае множество тех функций для которых существует функция называется областью определения оператора А (аналогично области задания функции в обычном анализе). Само соответствие обозначается обычно так:

Линейность оператора означает, что сумме функций ставится в соответствие сумма а произведению функции на число X ставится в соответствие функция , т. е.

и

Иногда от линейных операторов требуют также непрерывности, т. е. требуют, чтобы при сходимости последовательности функций к функции последовательность сходилась к функции

Приведем примеры линейных операторов.

1°. Поставим в соответствие каждой функции функцию

т. е. неопределенный интеграл от функции Линейность этого оператора вытекает из обычных свойств интеграла, т. е. из того, что интеграл от суммы равен сумме интегралов и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2°. Поставим в соответствие каждой дифференцируемой функции ее производную . Этот оператор обозначается обычно буквой , т. е.

Заметим, что этот оператор определен не для всех функций из гильбертова пространства, а только для функций, имеющих производную, и притом принадлежащую гильбертову пространству. Эти функции составляют, как уже сказано, область определения данного оператора.

3°. Примеры 1° и 2° были примерами линейных операторов в бесконечномерном пространстве. С примерами линейных операторов в конечномерных пространствах мы встречались в других главах этой книги. Так, в главе III (том 1) изучались аффинные преобразования. Если аффинное преобразование плоскости или пространства оставляет начало координат на месте, то оно является примером линейного оператора в двумерном, соответственно трехмерном, пространстве. В главе XVI вводились линейные преобразования -мерного пространства, являющиеся линейными операторами в -мерном пространстве.

4°. В интегральных уравнениях мы уже по существу встречались с весьма важным и имеющим широкое применение в анализе классом линейных операторов в функциональном пространстве — так называемыми интегральными операторами. Зададим некоторую определенную функцию Тогда формула

ставит в соответствие каждой функции некоторую функцию Символически мы можем это преобразование записать следующим образом:

Оператор А называется в этом случае интегральным оператором. Можно было бы привести еще много важных примеров интегральных операторов.

В § 4 мы говорили о неоднородном интегральном уравнении

В обозначениях теории операторов это уравнение перепишется так:

где X — заданное число, — заданная функция (вектор бесконечного пространства), — искомая функция. Однородное уравнение в тех же обозначениях переписывается следующим образом:

Классические теоремы об интегральных уравнениях, как, например, сформулированная в § 4 теорема о связи между разрешимостью неоднородного и соответствующего однородного интегральных уравнений, справедливы не для всякого операторного уравнения. Однако можно указать некоторые общие условия, накладываемые на оператор А, при которых эти теоремы верны.

Эти условия формулируются в топологических терминах и состоят в том, чтобы оператор А переводил единичную сферу (т. е. совокупность векторов, длины которых не превосходят единицы) в компактное множество.