Закон инерции квадратичных форм.
При приведении квадратичной формы к каноническому виду имеется весьма значительный произвол в выборе осуществляющего это приведение преобразования переменных. Этот произвол виден хотя бы из того, что имеется возможность раньше, чем применить изложенный выше способ последовательного выделения квадратов, сделать любое неособенное преобразование переменных.
Однако, несмотря на этот произвол, в результате приведения данной формы получаются почти одинаковые канонические квадратичные формы независимо от выбора приводящего преобразования. Именно, число квадратов новых переменных, входящих с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами, получается одним и тем же при любом способе приведения. Эта теорема носит название закона инерции квадратичных форм. На его доказательстве мы не будем останавливаться.
Закон инерции квадратичной формы решает задачу об эквивалентности действительной квадратичной формы относительно всех неособенных преобразований. Именно, две формы эквивалентны в том и только в том случае, если при приведении их к каноническому виду получаются канонические формы с одинаковым числом квадратов с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами.
Особый интерес для приложений имеют квадратичные формы, которые после приведения к каноническому виду превращаются в сумму квадратов новых переменных со всеми положительными коэффициентами. Такие формы носят название положительно-определенных.
Положительно-определенные квадратичные формы характеризуются тем свойством, что все значения их при действительных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны.
