Базис и размерность пространства.

В трехмерном пространстве любые три вектора не лежащие в одной плоскости (т. е. линейно-независимые), образуют базис этого пространства, это значит, что любой вектор пространства может быть разложен по векторам т. е. представлен в виде их линейной комбинации.

Общие линейные векторные пространства могут быть резко разделены на два типа.

Возможно, что в пространстве существует сколь угодно большое число линейно-независимых векторов. Такие пространства называются бесконечномерными и их изучение выходит за рамки линейной алгебры, являясь предметом специальной математической дисциплины — функционального анализа (см. главу XIX).

Линейное пространство называется конечномерным, если в нем существует конечная граница для числа линейно-независимых векторов, т. е. такое число что в пространстве существует линейно-независимых векторов, но любые векторы в числе, большем линейно-зависимы. Число называется размерностью или числом измерений пространства.

Так, пространство векторов обычного геометрического трехмерного пространства трехмерно и в смысле данного общего определения. Действительно, в трехмерном геометрическом пространстве существует сколько угодно троек линейно-независимых векторов, но любые четыре вектора уже линейно-зависимы.

Пространство -членных столбцов -мерно в смысле данного определения. Действительно, в этом пространстве существует линейнонезависимых векторов, например векторы

но всякий вектор этого пространства является их линейной комбинацией, именно: Следовательно, в силу теоремы о линейной зависимости линейных комбинаций, любые векторы в числе, большем линейно-зависимы.

Многочлены от одной переменной образуют линейное пространство. В самом деле, для многочленов естественным образом определены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющие аксиомам 1—8. Однако это пространство бесконечномерно, ибо Лекторы линейно-независимы при любом Совокупность же многочленов, степени которых не превосходят данного числа образуют конечномерное пространство, размерность которого равна . Действительно, векторы линейно-независимы и число их равно Всякий же многочлен, степень которого не превосходит является линейной комбинацией и, следовательно, по той же теореме, о линейной зависимости любые многочлены степени взятые в числе, большем линейно-зависимы.

Введем теперь важное понятие базиса для -мерного пространства. Базисом называется такая совокупность линейно-независимых векторов пространства, что любой вектор пространства является линейпой комбинацией векторов этой совокупности. Так, в пространстве столбцов базисом является, например, совокупность векторов (2). В пространстве многочленов степени за базис можно принять «векторы» . В трехмерном геометрическом пространстве роль базиса играет любая тройка линейно-независимых векторов.

В -мерном линейном пространстве любая совокупность из линейно-независимых векторов (а существование хотя бы одной такой совокупности содержится в определении -мерного пространства) образует базис пространства. Действительно, пусть — линейно-независимые векторы -мерного линейного пространства и -либо вектор пространства. Тогда векторы линейно-зависимы (ибо их число больше т. е. найдутся числа не равные нулю одновременно, такие, что . При этом ибо если бы векторы были бы линейно-зависимыми. Следовательно, т. е. любой вектор пространства есть линейная комбинация векторов

Любой базис -мерного линейного пространства состоит ровно из векторов. Действительно, векторы базиса линейно-независимы, и потому число их не может быть больше . С другой стороны, пусть какой-либо базис -мерного пространства. Уже установлено,

что . Но любой вектор пространства, по определению базиса, является линейной комбинацией векторов и, в силу теоремы о линейной зависимости линейных комбинаций, любые векторы, взятые в числе, большем к, линейно-зависимы, откуда следует, что размерность пространства не больше числа векторов базиса k. Итак, к что и требовалось доказать.

Введем теперь координаты вектора относительно данного Сазпса Как ужо было сказано выше, любой вектор X япляотся линей ион комбинацией векторов базиса. Такое представление единственно. Действительно, пусть вектор X выражается через базис двумя способами:

Тогда отгёуда следует, в силу линейной независимости что

Коэффициенты с разложении произвольного вектора X через векторы базиса называются координатами вектора X в этом базисе. Таким образом, любому вектору, если только выбран базис пространства, естественным образом сопоставляется строка (или столбец) его координат, и наоборот: любая строка (пли столбец) из чисел может рассматриваться как совокупность координат некоторого вектора.

Действиям сложения векторов и умножения вектора на число соответствуют одноименные действия над строками (или столбцами) из координат.

Поэтому любое -мерное линейное пространство, независимо от природы его элементов (будут они функциями, матрицами, какими-либо физическими величинами и т. д.), по отношению к этим действиям ничем не отличается от пространства строк (или столбцов). Таким образом, как уже было сказано раньше, обобщенный, аксиоматический подход к понятию линейного пространства не вносит никаких усложнений сравнению с трактовкой пространства как пространства строк, по значительно расширяет круг приложений, этого понятия.

Тождественность свойств двух совокупностей объектов по отношению к заданной системе действий (или каких-либо других отношений между элементами) называется в математике изоморфизмом. Точное определение изоморфизма алгебраических систем будет дапо в главе XX. Пользуясь этим термином, мы можем сказать, что все -мерные линейные, пространства, независимо от природы их элементов, изоморфны друг другу и изоморфны единой модели — пространству строк.