§ 7. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

В начале нашего изложения мы говорили о прикосновении (различных частей данной фигуры) как об основном топологическом понятии и определили непрерывные преобразования как такие, которые сохраняют это отношение. Однако точного определения этого основного понятия дано не было; сделать это достаточно общим образом можно лишь на основе понятий теории множеств. Это и составляет задачу настоящего параграфа; ее решение завершается введением понятия топологического пространства.

Теория множеств позволила придать понятию геометрической фигуры широту и общность, недоступную так называемой «классической» математике. Объектом геометрического, в частности топологического, исследования становятся теперь любые точечные множества, т. е. любые множества, элементами которых являются точки -мерного эвклидова пространства. Между точками -мерного пространства определено расстояние: именно, расстояние между точками по определению равно неотрицательному числу

Понятие расстояния позволяет определить прикосновение сначала между множеством и точкой, затем — между двумя множествами. Мы говорим, что точка А есть точка прикосновения множествам, если в множестве М имеются точки, расстояние которых от точки А меньше всякого наперед заданного положительного числа. Очевидно, любая точка данного множества есть его точка прикосновения, но и точка, не являющаяся точкой данного множества, может быть его точкой прикосновения. Возьмем, например, открытый промежуток (0,1) на числовой прямой, т. е.

множество всех точек, Лежащих между 0 и 1; сами точки 0 и 1 не принадлежат этому промежутку, но являются его точками прикосновения, так как в промежутке (0, 1) имеются точки, сколь угодно близкие к нулю, и точки, сколь угодно близкие к единице. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Например, отрезок [0,1] числовой прямой, т. е. множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству замкнуто.

Замкнутые множества на плоскости и тем более в пространстве трех и более измерений могут иметь чрезвычайно сложную структуру; именно они и являются по преимуществу предметом изучения теоретико-множественной топологии -мерного пространства. Мы скажем далее, что два множества соприкасаются между собой, если хотя бы одно из них содержит точку прикосновения другого. Согласно этому определению, два пересекающихся (т. е. имеющих общие точки) множества всегда соприкасаются. Из предыдущего следует, что два замкнутых множества соприкасаются лишь в том случае, когда они имеют хотя бы одну общую точку; но, например, отрезок [0, 1] и промежуток (1, 2), не имея общих точек, соприкасаются, так как точка 1, принадлежащая отрезку в то же время является точкой прикосновения промежутка (1, 2). Теперь мы можем сказать, что множество разбивается («рассекается») лежащим в нем множеством или что является «сечением» множества если множество состоящее из всех точек множества не принадлежащих может быть представлено как сумма двух не соприкасающихся между собой множеств.

Таким образом, идеи Лобачевского о соприкосновении и рассечений множеств получают в современной топологии свое точное и в высшей степени общее выражение. Мы уже видели, как на этих идеях основывается данное Урысоном определение размерности любого множества (см. примечание на стр. 206); формулировка этого определения получает теперь совершенно точное содержание. Это же относится и к определению непрерывного отображения или преобразования: отображение множества X на множество У называется непрерывным, если при этом отображении сохраняется соприкосновение, т. е. если из того, что некоторая точка А множества X есть точка прикосновения какого-либо подмножества Р множества У, следует, что образ точки А есть точка прикосновения образа множества Р. Наконец, взаимно однозначное отображение множества X на множество У называется топологическим, если оно само непрерывно и если обратное ему отображение множества У на множество X также непрерывно. Эти определения подводят точную базу всему сказанному в первых параграфах настоящей статьи.

Однако теоретико-множественная топология не ограничивается той степенью общности, которая достигается рассмотрением в качестве геометрических фигур всех точечных множеств. Оказывается естественным вводить понятие расстояния не только между точками какого-либо

эвклидова пространства, но и между другими объектами, казалось бы вовсе не относящимися к геометрии.

Рассмотрим, например, множество всох непрерывных функций, определенных, скажем, на отрезке [0, 1]. Определим расстояние между двумя функциями как максимум выражения когда х пробегает весь отрезок [0, 1]. Это «расстояние» обладает всеми основными свойствами расстояния между двумя точками пространства: между двумя функциями равно нулю тогда и только тогда, когда эти функции совпадают, т. е. когда для любой точки далее, расстояние, очевидно, симметрично, т. е. наконец, оно удовлетворяет так называемой аксиоме треугольника: для любых; трех функций имеем Принято говорить, что приведенное определение расстояния превращает наше множество функций в метрическое пространство (обычно обозначаемое через С). Под метрическим пространством вообще понимается множество каких угодно объектов, условно называемых точками метрического пространства, если только между любыми двумя точками определено расстояние, являющееся неотрицательным числом, удовлетворяющим приведенным только что «аксиомам расстояния».

Если дано какое-нибудь метрическое пространство, то можно говорить о точках прикосновения его подмножеств, а следовательно, и о соприкосновении его подмножеств между собою и вообще о топологических понятиях (замкнутых множествах, непрерывном отображении и дальнейших понятиях, вводимых на основе этих простейших). Таким путем открывается обширное и чрезвычайно плодотворное поле применения топологических и вообще геометрических идей к таким кругам математических объектов, в применении к которым, казалось бы, совершенно невозможно говорить ни о какой геометрии. Приведем поясняющий пример.

Возьмем снова дифференциальное уравнение (2)

Если при есть решение этого уравнения, принимающее, положим, для значения значение то функция очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению

Рассмотрим теперь интеграл где какая-нибудь непрерывная функция, определенная на отрезке

Этот интеграл есть некоторая непрерывная функция также определенная на отрезке [0, 1]. Так, выражение ставит в соответствие каждой функции функцию другими словами, мы имеем отображение как легко видеть — непрерывное, метрического пространства С в себя. Чем же характеризуется при этом функция (их может быть нисколько), являющаяся решением уравнения (2) или эквивалентного ему уравнения Тем, очевидно, что при нашем отображении она переходит сама в себя, т. е. является неподвижной точкой нашего отображения Оказывается, такая неподвижная точка у отображения G действительно существует — это вытекает из весьма общей теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений метрических пространств, доказанной в 1926 г. П. С. Александровым и В. В. Немыцким. В настоящее время рассмотрение различных метрических пространств, точками которых являются те или иные функции (такие пространства называются функциональными), является постоянно применяемым аппаратом анализа, а изучение функциональных пространств посредством отчасти топологических, а главным образом, в широком смысле слова, алгебраических методов, составляет содержание функционального анализа (см. главу XIX).

Функциональный анализ, как уже упоминалось в вводной главе, занимабт в современной математической науке чрезвычайно видное место ввиду многообразия своих связей со всевозможными другими частями математики и по своему значению для естествознания, в первую очередь для теоретической физики. Исследование топологических свойств функциональных пространств тесно связано с вариационным исчислением и теорией уравнений с частными производными (исследования Л. А. Люстерника, Морса, Лерэ, Шаудера, М. А. Красносельского и др.). Вопросы существования неподвижных точек при непрерывных отображениях функциональных пространств занимают в этих исследованиях значительное место.

Топология функциональных и вообще метрических пространств — всё еще не последнее слово общности в современных топологических теориях. Дело в том, что в метрических пространствах основное топологическое понятие прикосновения вводится на основе расстояния между точками, которое само по себе не является топологическим понятием. Поэтому возникает задача непосредственного, аксиоматического определения прикосновения. Так мы приходим к понятию топологического пространства — самому общему понятию современной топологии.

Топологическое пространство есть множество объектов любой природы (называемых точками топологического пространства), в котором для каждого подмножества тем или инымспособом заданы его точки

прикосновения. При этом требуется соблюдение некоторых естественных условий, называемых аксиомами топологического пространства (например, кзждя трчка данного множества является его точкой прикосно вения, точка прикосновения суммы двух множеств является точкой прикосновение по крайней мере одного из слагаемых и т. п.). Теория топологических пространств — в настоящее время глубоко разработанная область математики. В ее развитии приняли ведущее участие советские математики П. С. Урысон, П. С. Александров, А. Н. Тихонов и др. Из новейших результатов в теории топологических пространств, имеющих принципиальное значение, следует отметить найденное молодым математиком Ю. М. Смирновым необходимое и достаточное условие метризуемости топологического пространства, т. е. условие, при котором между точками пространства можно определить расстояние таким образом, чтобы имеющаяся «топология» пространства могла рассматриваться как порожденная этим понятием расстояния. Иными словами, чтобы точки прикосновения всевозможных множеств в полученном метрическом пространстве были теми же самыми, что и определенные с самого начала в данном топологическом пространстве.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)