§ 3. МНОГООБРАЗИЯ

Рассмотрим следующий простой прибор, иногда называемый двойным плоским маятником (рис. 14). Он состоит из двух стержней ОА и скрепленных шарниром в точке А; точка О остается неподвижной, стержень свободно вращается в постоянной плоскости вокруг точки О, а стержень свободно вращается в той же плоскости вокруг точки А.

Каждое из возможных положений нашей системы вполне определяется, если задать угол у и угол которые образуют стержни ОА в с каким-нибудь постоянным направлением в плоскости, например с положительным направлением оси абсцисс. Эти два угла, изменяющиеся от 0 до мы можем рассматривать как «географические координаты» точки на торе, отсчитываемые соответственно от «экватора» тора и одного из его «меридианов» (рис. 15).

Таким образом, мы можем сказать, что многообразие всех возможных состояний нашей механической системы есть многообразие двух измерений, а именно — тор. Заменяя каждый и» углов , соответствующей ему точкой некоторой окружности, на которой дана начальная точка и направление отсчета дуг (рис. 16), мы можем также сказать, что каждое возможное состояние нашей механической системы будет вполне охарактеризовано, если будет задано по точке на каждой из двух окружностей (на одной из них отсчитывается широта , а на другой — долгота

Рис. 14.

Рис. 15.

Другими словами, совершенно так же, как в аналитической геометрии, мы отождествляем точку плоскости с парой чисел — ее координат, так и в нашем случае мы можем отождествить точку тора (а значит и любое положение нашего маятника) с парой ее географических координат, т. е. с парой точек, из которых одна лежит на одной, а другая на другой окружности. Это положение вещей характеризуют, говоря, что многообразие всех возможных состояний нашего двойного плоского маятника, т. е. тор, есть топологическое произведение двух окружностей.

Видоизменим теперь наш прибор следующим образом. Пусть он по-прежнему состоит из двух стержней ОА и причем стержень может свободно вращаться в определенной плоскости вокруг точки О, тогда как стержень теперь скреплен со стержнем О А шаровым шарниром в точке А, так что при данном положении этой точки он может свободно вращаться вокруг нее уже в пространстве, принимая направление любого исходящего из точки А луча. Теперь положение нашей системы задается тремя параметрами, из которых первый есть попрежнему угол , образуемый стержнем с положительным направлением оси абсцисс, а вторые

два определяют направление стержня в пространстве. Последнее направление может быть определено, например, заданием той точки В единичной сферы с центром в начале координат О, в которой пересекает эту сферу радиус параллельный стержню или заданием на сфере двух географических координат точки В. Таким образом, многообразие всех положений нашей новой шарнирной системы есть некоторое трехмерное многообразие, и читатель легко поймет, что его можно трактовать как топологическое произведение окружности и сферы. Это многообразие замкнуто, т. е. оно не имеет краев, поэтому его невозможно реализовать в виде фигуры, лежащей в трехмерном пространстве. Для того чтобы тем не менее представить себе это многообразие сколько-нибудь наглядно, рассмотрим часть пространства, заключенную между двумя концентрическими сферами. Каждый луч, идущий из общего центра этих сфер, прокалывает их в двух точках. Если считать каждую пару таких точек отождествленной (склеенной в одну точку), то мы и получим трехмерное многообразие, являющееся топологическим произведением сферы на окружность.

Рис. 16.

Мы можем подвергнуть наш шарнирный прибор еще дальнейшему усложнению, не только скрепив шаровым шарниром стержни ОА и в точке А, но предположив, кроме того, что и стержень ОА может свободно вращаться в пространстве вокруг точки О. Множество возможных положений полученной системы будет уже четырехмерным замкнутым многообразием, а именно — произведением двух сфер.

Мы видим, таким образом, что уже простейшие механические рассмотрения (кинематические) приводят к топологическим многообразиям и притом трех и более измерений. При реальном, более подробном рассмотрении механических проблем еще большее значение имеют многообразия (вообще говоря, также многомерные), являющиеся так называемыми фазовыми пространствами динамических систем, где принимаются в расчет не только конфигурации, которые может иметь данная механическая система, но и скорости, с которыми движутся различные составляющие ее точки. Ограничимся одним из простейших примеров. Пусть мы имеем точку, способную двигаться по окружности с произвольной скоростью. Каждое состояние этой системы определяется двумя данными: положением точки на окружности и скоростью ее в данный момент. Многообразием состояний (фазовым пространством) данной механической системы является, очевидно, бесконечный цилиндр (произведение окружности на прямую).

Число измерений фазового пространства растет вместе с ростом числа степеней свободы данной системы. Многие динамические характеристики

той или иной механической системы находят свое выражение в топологических свойствах ее фазового пространства. Так, например, каждому периодическому движению данной системы соответствует замкнутая линия в ее фазовом пространстве.

Изучение фазовых пространств динамических систем, поставленное на очередь различными проблемами механики, физики и астрономии (небесная механика, космогония), привлекло внимание математиков к топологии многомерных многообразий. Именно в связи с этими проблемами великий французский математик Пуанкаре предпринял в девяностых годах прошлого века систематическое построение топологии многообразий, применив при этом так называемый комбинаторный метод, являющийся с тех пор одним из основных методов топологии.