Теорема Больцано—Вейерштрасса.
Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы одну предельную точку.
Докажем эту теорему. Пусть Е — ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество Е ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке 
Разделим этот отрезок пополам. Так как множество Е бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества Е. Обозначим этот отрезок через 
(если в обеих половинах
отрезка 
лежит бесконечно много точек множества Е, то через 
можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок 
два равных отрезка. Так как часть множества Е, расположенная 
отрезке 
бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много точек множества Е. Обозначим этот отрезок через 
Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит бесконечно много точек множества Е, Мы получим последовательность отрезков 
Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок 
содержится в предыдущем 
каждый отрезок 
содержит бесконечно много точек множества 
длины отрезков 
стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из ее построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить, что если длина отрезка 
равна I, то длина отрезка 
равна 
В силу принципа Кантора существует единственная точка х, принадлежащая всем отрезкам 
Покажем, 
эта точка х является предельной точкой множества Е. Для этого достаточно установить, что если 
есть некоторый интервал, содержащий точку х, то он содержит бесконечно много точек множества Е. Так как каждый отрезок «одержит точку х и длины отрезков стремятся к нулю, то при достаточно большом 
отрезок будет целиком содержаться в интервале 
Но по условию 
содержит бесконечно много точек множества Е. Поэтому и 
содержит бесконечно много точек множества Е. Итак, точка х действительно является предельной точкой множества Е, и теорема доказана.
Упражнение. Покажите, что если множество Е ограничено сверху и не имеет самой правой точки, то его верхняя грань является предельной точкой Е (и не принадлежит Е).
