§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Определение и примеры.

Во многих математических исследованиях возникает потребность в замене переменных, т. е. в переходе от одной системы переменных к другой связанной с первой посредством функциональной зависимости:

Например, если переменные представляют собой координаты точки на плоскости или в пространстве, то переход от одной системы координат к другой системе влечет за собой преобразование координат, которые задаются выражениями исходных координат через новые, или наоборот.

Кроме того, преобразование переменных возникает при изучении изменений, переходов от одного положения или состояния к другому для таких объектов, положение или состояние которых описывается значениями переменных. Типичным примером этого рода преобразования может служить изменение координат точек некоторого тела при его деформации.

Отвлеченно заданное преобразование системы переменных обычно интерпретируется именно как преобразование (деформация) -мерного пространства, т. е. как сопоставление каждому вектору пространства (или его части) с координатами соответствующего ему вектора с координатами

Как уже было сказано выше, каждая «гладкая» (имеющая непрерывные частные производные) функция от нескольких переменных при малых изменениях этих переменных близка к линейной функции. Поэтому любое «гладкое» преобразование (т. е. такое, в аналитическом описании которого функции имеют непрерывные частные производные) на малой части пространства близко к линейному:

Уже одно это обстоятельство делает изучение свойств линейных преобразований одной из важнейших задач математики. Например, из теории линейных уравнений с и неизвестными мы знаем, что необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости системы уравнений (10) относительно , т. е. обратимости соответствующего линейного преобразования, является неравенство нулю определителя из коэффициентов. Это обстоятельство лежит в основе глубокой теоремы анализа: для того чтобы преобразование

гладкое в окрестности данной точки, имело гладкое обратное преобразование, необходимо и достаточно, чтобы в данной точке определитель

был отличен от нуля.

Изучение общего линейного преобразования (10) в основном сводится к изучению однородного преобразования с теми же коэффициентами

и в дальнейшем, говоря о линейных преобразованиях, мы всегда будем подразумевать однородные преобразования.

Линейные преобразования -мерного пространства могут быть также определены своими внутренними свойствами, помимо формул (11), связывающих координаты соответствующих точек. Такое бескоординатное определение понятия линейного преобразования полезно тем, что оно не зависит от выбора базиса. Это определение состоит в следующем.

Линейное преобразование -мерного линейного пространства есть функция аргумент X и значения которой являются векторами. Функция эта удовлетворяет требованию линейности

В дальнейшем, говоря о линейном преобразовании пространства, мы будем его понимать именно в смысле этого определения.

Это определение равносильно предыдущему — координатному. Действительно, функция сопоставляющая вектор X с координатами вектор У с координатами так, что при этом координаты выражаются через координаты в виде линейных однородных функций, очевидно, удовлетворяет требованию (12). Обратно, если функция удовлетворяет требованию (12) и какой-либо базис пространства, то

Обозначим координаты (в том же базисе) вектора через Тогда координаты вектора будут

Таким образом, - каждому линейному преобразованию линейного пространства соответствует относительно данного базиса некоторая квадратная матрица. Само преобразование записывается на языке матриц в виде Здесь X — столбец из координат исходного вектора, — столбец из координат преобразованного вектора, А — матрица коэффициентов преобразования. Столбцы матрицы А образованы координатами тех векторов, в которые преобразуются векторы базиса. В соответствии с матричной записью мы будем в дальнейшем и само линейное преобразование часто записывать в виде опуская скобки.

Из формулы

следует, что все пространство при линейном преобразовании превращается в подпространство, натянутое на векторы Размерность этого подпространства равна рангу системы векторов или, что то же самое, рангу матрицы, составленной из их координат, т. е. рангу матрицы А, сопоставляемой преобразованию. Подпространство это совпадает со всем пространством в том и только в том случае, когда ранг матрицы А равен т. е. когда определитель матрицы А отличен от нуля. В этом случае линейное преобразование называется неособенным или невырожденным.

Из теории систем линейных уравнений мы знаем, что невырожденные преобразования однозначно обратимы, и координаты исходного вектора выражаются через координаты преобразованного но формуле

Преобразование, матрица которого имеет равный нулю определитель, называется особенным или вырожденным. Вырожденное преобразование необратимо. Это следует из теории линейных уравнений или более наглядно из того, что оно преобразует все пространство в его часть.

Примером невырожденного преобразования может служить в первую очередь единичное преобразование, преобразующее все векторы в себя. Матрицей единичного преобразования в любом базисе является единичная матрица Е.

Невырожденными являются также преобразования подобия, состоящие в том, что нее векторы пространства умножаются на одно и то же число. Матрица преобразования подобия не зависит от выбора базиса и имеет вид , где а — коэффициент подобия.

Важным частным случаем невырожденных преобразований являются преобразования ортогональные. Понятие ортогонального преобразования Имеет смысл в применении к эвклидову пространству и определяется как линейное преобразование, сохраняющее длины векторов. Ортогональное преобразование есть обобщение на -мерное пространство преобразования вращения пространства при неподвижном начале

координат или вращения, соединенного с отражением относительно какой-либо плоскости, проходящей через начало.

Легко видеть, что при ортогональном преобразовании сохраняются не только длины векторов, но и скалярные произведения, и, следовательно, ортогональные преобразования переводят ортонормальный базис пространства в систему попарно-ортогональных единичных векторов, которая в свою очередь неминуемо является базисом.

Матрица, связанная с ортогональным преобразованием, относительно ортонормального базиса обладает следующими специфическими свойствами.

Во-первых, сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, ибо такие суммы суть квадраты длин векторов, в которые переходят векторы выбранного базиса. Во-вторых, суммы произведений соответствующих элементов, взятых из двух различных столбцов, равны нулю, ибо такие суммы суть скалярные произведения векторов, в которые переходят векторы базиса.

В матричных обозначениях оба эти свойства записываются одной формулой

Здесь Р — матрица ортонорнального преобразования (относительно ортонормального базиса), Р — транспонированная с ней матрица, т. е. такая, строки которой являются столбцами матрицы Р с сохранением их порядка.

В самом деле, диагональные элементы матрицы по правилу умножения матриц равны сумме квадратов элементов соответствующего столбца матрицы Р, а недиагональные равны сумме произведений соответствующих элементов, взятых из различных столбцов матрицы Р.

Примером вырожденного преобразования может служить, например, ортогональное проектирование всех векторов эвклидова пространства на некоторое подпространство (см. § 2). Действительно, при этом преобразовании все пространство отображается на свою часть.