Строение алгебр.

Согласно сказанному каждая ассоциативная алгебра А может быть изоморфно? представлена матрицами некоторого порядка. Совокупность матриц, отвечающих в этом представлении величинам алгебры А, будет сама алгеброй, но являющейся лишь частью алгебры всех матриц данного порядка. Если некоторая часть величин алгебры сама является алгеброй, то она называется подалгеброй данной алгебры. Можно сказать, следовательно, что всякая ассоциативная алгебра изоморфна некоторой подалгебре матриц.

Хотя этот результат представляет принципиальный интерес, так как он сводит вопрос о нахождении всех алгебр к нахождению всевозможных подалгебр матричных алгебр, он не дает прямого ответа на вопрос о строении алгебр. Впервые общий ответ на этот вопрос был дан в конце прошлого века в работах профессора Юрьевского

(Тартуского) университета Ф. Э. Молина (1861—1941), с 1900 г. преподававшего в Томском политехническом институте.

Алгебру называют простой, если она не содержит никаких двусторонних идеалов, отличных от нулевого и всей алгебры. Ф. Э. Молиным было показано, что всякая простая ассоциативная алгебра ранга 2 или большего над полем комплексных чисел изоморфна алгебре всех матриц подходящего порядка над этим полем.

Продолжая основополагающие исследования Молина, Веддербарн получил в начале XX в. ряд результатов, вскрывающих весьма полно строение алгебр над произвольным полем.

Какая-либо система элементов алгебры А (в частности сама алгебра А, ее некоторый идеал или подалгебра) называется нильпотентиой, если существует такое натуральное число что произведение любых элементов системы равно нулю. Всякая ассоциативная алгебра обладает единственным максимальным двусторонним нильпотоптным идеалом, называемым радикалом алгебры. Алгебра, радикал которой равен нулю, называется полу простой. Можно показать, что всякая полупростая алгебра распадается в особого рода сумму простых алгебр, благодаря чему изучение полупростых алгебр целиком сводится к изучению простых. Наконец, алгебра А называется алгеброй с делением, если в А каждое уравнение вида имеет решение.

Строение простых алгебр над полем комплексных чисел полностью описывается упомянутой теоремой Молина. Если же основное поле Р произвольно, то имеет место более общая теорема Веддербарна: всякая простая алгебра ранга 2 или большего над полем Р изоморфна алгебре всех матриц подходящего порядка с элементами из некоторой алгебры с делением над тем же полем Р. Таким образом, теорема Веддербарна сводит вопрос о нахождении простых алгебр над заданным полем Р к нахождению алгебр с делением над полем Р. Над полем комплексных чисел есть только одна алгебра с делением — само поле комплексных чисел. По теореме Веддербарна отсюда следует, что все простые алгебры над полем комплексных чисел изоморфны алгебрам матриц над этим полем, т. е. следует теорема Молина.

Над полем действительных чисел существуют лишь три ассоциативные алгебры с делением: само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и алгебра кватернионов. Доказательство этого утверждения не очень просто, и мы не будем на нем останавливаться. В силу теоремы Веддербарна отсюда вытекает, что каждая простая алгебра над полем действительных чисел изоморфна алгебре матриц подходящего порядка либо над полем действительных чисел, либо над полем комплексных чисел, либо над алгеброй кватернионов.

Из этих примеров видно, как раскрывается строение полупростых алгебр теоремами Молина и Веддербарна. Что касается алгебр с радикалом, то для них большое значение имеет так называемая основная

теорема Веддербарна, согласно которой при некоторых ограничениях, накладываемых на основное поле, в каждой алгебре А с радикалом существует полупростая подалгебра такая, что каждый элемент заданной алгебру может быть однозначно представлен в виде суммы причем подалгебра определяется в некотором смысле однозначно внутри алгебры А.

Только что сформулированные основные теоремы дают стройное представление о возможных типах ассоциативных алгебр и сводят вопрос об их строении в основном к аналогичному вопросу о строении нильпотентных алгебр. Теория последних пока еще находится в процессе становления.