Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Строение алгебр.

Согласно сказанному каждая ассоциативная алгебра А может быть изоморфно? представлена матрицами некоторого порядка. Совокупность матриц, отвечающих в этом представлении величинам алгебры А, будет сама алгеброй, но являющейся лишь частью алгебры всех матриц данного порядка. Если некоторая часть величин алгебры сама является алгеброй, то она называется подалгеброй данной алгебры. Можно сказать, следовательно, что всякая ассоциативная алгебра изоморфна некоторой подалгебре матриц.

Хотя этот результат представляет принципиальный интерес, так как он сводит вопрос о нахождении всех алгебр к нахождению всевозможных подалгебр матричных алгебр, он не дает прямого ответа на вопрос о строении алгебр. Впервые общий ответ на этот вопрос был дан в конце прошлого века в работах профессора Юрьевского

(Тартуского) университета Ф. Э. Молина (1861—1941), с 1900 г. преподававшего в Томском политехническом институте.

Алгебру называют простой, если она не содержит никаких двусторонних идеалов, отличных от нулевого и всей алгебры. Ф. Э. Молиным было показано, что всякая простая ассоциативная алгебра ранга 2 или большего над полем комплексных чисел изоморфна алгебре всех матриц подходящего порядка над этим полем.

Продолжая основополагающие исследования Молина, Веддербарн получил в начале XX в. ряд результатов, вскрывающих весьма полно строение алгебр над произвольным полем.

Какая-либо система элементов алгебры А (в частности сама алгебра А, ее некоторый идеал или подалгебра) называется нильпотентиой, если существует такое натуральное число что произведение любых элементов системы равно нулю. Всякая ассоциативная алгебра обладает единственным максимальным двусторонним нильпотоптным идеалом, называемым радикалом алгебры. Алгебра, радикал которой равен нулю, называется полу простой. Можно показать, что всякая полупростая алгебра распадается в особого рода сумму простых алгебр, благодаря чему изучение полупростых алгебр целиком сводится к изучению простых. Наконец, алгебра А называется алгеброй с делением, если в А каждое уравнение вида имеет решение.

Строение простых алгебр над полем комплексных чисел полностью описывается упомянутой теоремой Молина. Если же основное поле Р произвольно, то имеет место более общая теорема Веддербарна: всякая простая алгебра ранга 2 или большего над полем Р изоморфна алгебре всех матриц подходящего порядка с элементами из некоторой алгебры с делением над тем же полем Р. Таким образом, теорема Веддербарна сводит вопрос о нахождении простых алгебр над заданным полем Р к нахождению алгебр с делением над полем Р. Над полем комплексных чисел есть только одна алгебра с делением — само поле комплексных чисел. По теореме Веддербарна отсюда следует, что все простые алгебры над полем комплексных чисел изоморфны алгебрам матриц над этим полем, т. е. следует теорема Молина.

Над полем действительных чисел существуют лишь три ассоциативные алгебры с делением: само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и алгебра кватернионов. Доказательство этого утверждения не очень просто, и мы не будем на нем останавливаться. В силу теоремы Веддербарна отсюда вытекает, что каждая простая алгебра над полем действительных чисел изоморфна алгебре матриц подходящего порядка либо над полем действительных чисел, либо над полем комплексных чисел, либо над алгеброй кватернионов.

Из этих примеров видно, как раскрывается строение полупростых алгебр теоремами Молина и Веддербарна. Что касается алгебр с радикалом, то для них большое значение имеет так называемая основная

теорема Веддербарна, согласно которой при некоторых ограничениях, накладываемых на основное поле, в каждой алгебре А с радикалом существует полупростая подалгебра такая, что каждый элемент заданной алгебру может быть однозначно представлен в виде суммы причем подалгебра определяется в некотором смысле однозначно внутри алгебры А.

Только что сформулированные основные теоремы дают стройное представление о возможных типах ассоциативных алгебр и сводят вопрос об их строении в основном к аналогичному вопросу о строении нильпотентных алгебр. Теория последних пока еще находится в процессе становления.

1
Оглавление
email@scask.ru