Множества, ограниченные сверху и снизу.

Пусть Е — множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка А, что любая точка расположена левее точки А, то говорят, что множество Е ограничено сверху. Аналогично, если на прямой существует такая точка а, что любая точка расположена правее точки а, то множество Е называется ограниченным снизу. Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.

Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество Е точек на примой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки образуют упорядоченное множество.

Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке