§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРЫ ГРУПП

Общая теория групп по своим методам несколько напоминает элементарную геометрию: в обоих случаях в основу кладется определенная система аксиом, исходя из которой и строится все здание теории. Но пример аналитической геометрии показывает, насколько полезным для исследования геометрических проблем оказывается привлечение аналитических, числовых методов.

Приложением средств анализа и классической алгебры к теории групп является так называемая теория представлений групп. Как аналитическая геометрия дает методы решения не только геометрических задач при помощи анализа, но и, наоборот, бросает геометрический

свет на многие сложные проблемы анализа, так в еще большей степени теория представлений не только служит вспомогательным аппаратом для исследования свойств групп, но и, связывая воедино глубокие понятия и проблемы анализа и теории групп, позволяет для групповых фактов находить выражения в числовых соотношениях, а для аналитических зависимостей находить групповое истолкование. В настоящее время большая часть важных приложений теории групп в физике связана именно с теорией представлений.

Представления групп матрицами.

В линейной алгебре (см. главу XVI) уже рассматривалось действие умножения для матриц. Это действие ассоциативно, но, вообще говоря, некоммутативно. Неособенные квадратные матрицы данного порядка образуют группу относительно умножения. Действительно, произведение двух пеособепных матриц есть снова неособенная матрица, роль нейтрального элемента играет единичная матрица и для каждой неособенной матрицы существует обратная, тоже неособенная.

Допустим, что дана некоторая группа и каждому ее элементу поставлена в соответствие определенная неособенная матрица комплексных чисел порядка и притом так, что при перемножении элементов группы соответствующие им матрицы также перемножаются: Тогда говорят, что дано представление группы матрицами степени Обычно слово «матрицами» пропускается и говорят просто о представлении степени группы Представление степени данной группы есть просто гомоморфное отображение группы в группу неособенных матриц степени Из общих свойств гомоморфных отображений следует, что при любом представлении нейтральный элемент группы переходит в единичную матрицу, взаимно обратные элементы в переходят во взаимно обратные матрицы.

Матрицы порядка — это отдельные комплексные числа. Поэтому представлением 1-й степени группы является соответствие, при котором каждому элементу группы отвечает комплексное число, причем произведению элементов группы отвечает произведение соответствующих комплексных чисел. Например, отображение, при котором четным подстановкам симметрической группы отвечает число 1, а нечетным число —1, будет представлением 1-й степени.

Поставив в соответствие каждому элементу группы единичную матрицу Е степени мы получим представление группы называемое ее единичным представлением степени Если группа конечная и содержит неединичные элементы, то, кроме единичного представления различных степеней, группа обязательно имеет также бесконечно много других представлений. Способы нахождения их будут указаны дальше.

Зная одно представление группы можно получить бесчисленное множество других. Действительно, пусть — данное представление

группы матрицами степени Выберем произвольную неособенную матрицу Р той же степени и положим Соответствие будет снова представлением группы так как

Представления, получающиеся этим способом из данного представления путем выбора различных матриц Р, называются эквивалентными данному представлению. В теории представлений эквивалентные представления не считаются существенно различными, все представления рассматриваются обычно лишь с точностью до эквивалентности.

Другим способом нахождения новых представлений является прямое сложение представлений, заключающееся в следующем: пусть — какие-либо представления группы матрицами соответственно степеней Рассмотрим отображение

Учитывая правила перемножения матриц (см. главу XVI), имеем

т. е. указанное отображение снова является представлением группы Оно называется суммой двух данных представлений и обозначается Если слагаемые переставить, то получится иное представление

которое, однако, эквивалентно старому. Поэтому, если эквивалентные представления не различать, то сложение представлений будет коммутативной операцией. Легко видеть, что при том же условии сложение будет и ассоциативной операцией. Имея некоторый запас представлений группы можно путем их сложения получать представления все более высоких степеней:

Например, числа относительно умножения образуют группу. Ставя каждому числу этой группы в соответствие само это число, мы получим представление 1-й степени. В качестве второго представления можно взять отображение Суммой этих представлений будет отображение

Преобразуя его при помощи матрицы получим эквивалентное представление

Интересно отметить, что все матрицы этого представления действительны.

Допустим, что все матрицы некоторого представления степени группы имеют вид

где — квадратные матрицы, а левый нижний угол целиком заполнен нулями. Перемножая матрицы получим

Это показывает, что отображения будут также представлениями группы , но только более низкой степени. Представление называется ступенчатым представлением группы , а всякое эквивалентное ему представление называется приводимым. Представление же, не эквивалентное никакому ступенчатому, называется неприводимым.

Если во всех матрицах не только левый нижний, но и правый верхний угол заполнен нулями, то представление называется распадающимся в сумму представлений . Представление, эквивалентное сумме неприводимых представлений, называется вполне приводимым.

В теории групп доказывается, что всякое представление конечной группы внолне приводимог. Отсюда следует, что для нахождения всех представлений конечной группы достаточно знать ее неприводимые представления, так как все остальные эквивалентны различным суммам неприводимых.

Практическое вычисление неприводимых представлений какой-либо конечной группы является, обычно, довольно сложной задачей, которая в явной форме решена лишь для отдельных классов конечных групп, например, для коммутативных групп, для симметрических групп в некоторых других, хотя с теоретической точки зрения свойства представлений конечных групп изучены довольно подробно.

Для каждой конечной группы вводится особое «регулярное» представление, которое строится следующим образом. Пусть элементы заданной группы перенумерованные в произвольном порядке, и пусть

Выбирая какое-либо фиксированное значение для к, составим матрицу степени , у которой в строке стоит 1 на месте, а остальные места заняты пулями и введем для нее обозначение Соответствие называется регулярным представлением группы То, что это действительно представление, доказывается путем простых вычислений.

Можно доказать также, что, изменяя нумерацию элементов группы, мы перейдем к эквивалентному представлению, и, следовательно, с точностью до эквивалептности каждая конечная группа имеет лишь одно регулярное представление.

Формулируем вкратце основные теоремы теории представлений конечных групп. Число различных (неэквивалентных) неприводимых представлений конечной группы конечно и равно числу классов сопряженных (см. стр. 280) элементов этой группы. Степени неприводимых представлений обязательно являются делителями порядка группы, причем регулярное представление эквивалентно сумме всех неэквивалентных неприводимых представлений, в которой каждое неприводимое слагаемое повторяется столько раз, какова его степень.

Отсюда вытекает следующее интересное соотношение между порядком конечной группы и степенями неприводимых представлений.

Обозначим число элементов группы через число классов сопряженных элементов через к u степени неприводимых представлений соответственно через Из построения регулярного представления видно, что его степень равна . Поскольку, кроме того, регулярное представление эквивалентно сумме представлений, эквивалентных первому неприводимому представлению, плюс представлений, эквивалентных второму, и т. д., и при сложении представлений их степени складываются, должно иметь место равенство

Поставив каждому элементу группы в соответствие число 1, мы получим тривиальное неприводимое представление степени 1, которым обладает каждая группа. Понимая под в формуле (11) степень именно этого единичного представления, можно формулу (11) переписать в равносильной форме

где означают теперь степени нетривиальных неприводимых представлений.

Пользуясь тем, что должны быть делителями числа и зная k, иногда можно только из одного равенства (11) уже найти Например, симметрическая группа перестановок трех элементов имеет три класса сопряженных перестановок: (1); (12), (13), (23); (123), (132). При равенство (11) допускает единственную систему решений: Поэтому имеет два различных представления 1-й степени и одно неприводимое представление 2-й степени.

Другцм примером могут служить конечные абелевы группы. Здесь каждый элемент составляет отдельный класс. Поэтому и из формулы (11) следует, что , т. е. все неприводимые представления таких групп имеют первую степень и число их равно порядку группы.

Неприводимые представления абелевых групп иначе называются их характерами. Для всякого представления неабелевой группы характером называется набор так называемых следов (т. е. сумм диагональных элементов) матриц, образующих представление. Характеры конечных групп обладают замечательными свойствами и соотношениями. Исследование представлений и характеров групп обогатило теорию групп интересными общими результатами, нашедшими обширные приложения и в современной теоретической физике.