Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРЫ ГРУППОбщая теория групп по своим методам несколько напоминает элементарную геометрию: в обоих случаях в основу кладется определенная система аксиом, исходя из которой и строится все здание теории. Но пример аналитической геометрии показывает, насколько полезным для исследования геометрических проблем оказывается привлечение аналитических, числовых методов. Приложением средств анализа и классической алгебры к теории групп является так называемая теория представлений групп. Как аналитическая геометрия дает методы решения не только геометрических задач при помощи анализа, но и, наоборот, бросает геометрический свет на многие сложные проблемы анализа, так в еще большей степени теория представлений не только служит вспомогательным аппаратом для исследования свойств групп, но и, связывая воедино глубокие понятия и проблемы анализа и теории групп, позволяет для групповых фактов находить выражения в числовых соотношениях, а для аналитических зависимостей находить групповое истолкование. В настоящее время большая часть важных приложений теории групп в физике связана именно с теорией представлений. Представления групп матрицами.В линейной алгебре (см. главу XVI) уже рассматривалось действие умножения для матриц. Это действие ассоциативно, но, вообще говоря, некоммутативно. Неособенные квадратные матрицы данного порядка образуют группу относительно умножения. Действительно, произведение двух пеособепных матриц есть снова неособенная матрица, роль нейтрального элемента играет единичная матрица и для каждой неособенной матрицы существует обратная, тоже неособенная. Допустим, что дана некоторая группа Матрицы Поставив в соответствие каждому элементу группы Зная одно представление группы группы
Представления, получающиеся этим способом из данного представления путем выбора различных матриц Р, называются эквивалентными данному представлению. В теории представлений эквивалентные представления не считаются существенно различными, все представления рассматриваются обычно лишь с точностью до эквивалентности. Другим способом нахождения новых представлений является прямое сложение представлений, заключающееся в следующем: пусть
Учитывая правила перемножения матриц (см. главу XVI), имеем
т. е. указанное отображение снова является представлением группы
которое, однако, эквивалентно старому. Поэтому, если эквивалентные представления не различать, то сложение представлений будет коммутативной операцией. Легко видеть, что при том же условии сложение будет и ассоциативной операцией. Имея некоторый запас представлений Например, числа
Преобразуя его при помощи матрицы
Интересно отметить, что все матрицы этого представления действительны. Допустим, что все матрицы некоторого представления степени
где
Если во всех матрицах В теории групп доказывается, что всякое представление конечной группы внолне приводимог. Отсюда следует, что для нахождения всех представлений конечной группы достаточно знать ее неприводимые представления, так как все остальные эквивалентны различным суммам неприводимых. Практическое вычисление неприводимых представлений какой-либо конечной группы является, обычно, довольно сложной задачей, которая в явной форме решена лишь для отдельных классов конечных групп, например, для коммутативных групп, для симметрических групп в некоторых других, хотя с теоретической точки зрения свойства представлений конечных групп изучены довольно подробно. Для каждой конечной группы вводится особое «регулярное» представление, которое строится следующим образом. Пусть
Выбирая какое-либо фиксированное значение для к, составим матрицу степени Можно доказать также, что, изменяя нумерацию элементов группы, мы перейдем к эквивалентному представлению, и, следовательно, с точностью до эквивалептности каждая конечная группа имеет лишь одно регулярное представление. Формулируем вкратце основные теоремы теории представлений конечных групп. Число различных (неэквивалентных) неприводимых представлений конечной группы конечно и равно числу классов сопряженных (см. стр. 280) элементов этой группы. Степени неприводимых представлений обязательно являются делителями порядка группы, причем регулярное представление эквивалентно сумме всех неэквивалентных неприводимых представлений, в которой каждое неприводимое слагаемое повторяется столько раз, какова его степень. Отсюда вытекает следующее интересное соотношение между порядком конечной группы и степенями неприводимых представлений. Обозначим число элементов группы
Поставив каждому элементу группы в соответствие число 1, мы получим тривиальное неприводимое представление степени 1, которым обладает каждая группа. Понимая под в формуле (11) степень именно этого единичного представления, можно формулу (11) переписать в равносильной форме
где Пользуясь тем, что Другцм примером могут служить конечные абелевы группы. Здесь каждый элемент составляет отдельный класс. Поэтому Неприводимые представления абелевых групп иначе называются их характерами. Для всякого представления неабелевой группы характером называется набор так называемых следов (т. е. сумм диагональных элементов) матриц, образующих представление. Характеры конечных групп обладают замечательными свойствами и соотношениями. Исследование представлений и характеров групп обогатило теорию групп интересными общими результатами, нашедшими обширные приложения и в современной теоретической физике.
|
1 |
Оглавление
|