Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРЫ ГРУППОбщая теория групп по своим методам несколько напоминает элементарную геометрию: в обоих случаях в основу кладется определенная система аксиом, исходя из которой и строится все здание теории. Но пример аналитической геометрии показывает, насколько полезным для исследования геометрических проблем оказывается привлечение аналитических, числовых методов. Приложением средств анализа и классической алгебры к теории групп является так называемая теория представлений групп. Как аналитическая геометрия дает методы решения не только геометрических задач при помощи анализа, но и, наоборот, бросает геометрический свет на многие сложные проблемы анализа, так в еще большей степени теория представлений не только служит вспомогательным аппаратом для исследования свойств групп, но и, связывая воедино глубокие понятия и проблемы анализа и теории групп, позволяет для групповых фактов находить выражения в числовых соотношениях, а для аналитических зависимостей находить групповое истолкование. В настоящее время большая часть важных приложений теории групп в физике связана именно с теорией представлений. Представления групп матрицами.В линейной алгебре (см. главу XVI) уже рассматривалось действие умножения для матриц. Это действие ассоциативно, но, вообще говоря, некоммутативно. Неособенные квадратные матрицы данного порядка образуют группу относительно умножения. Действительно, произведение двух пеособепных матриц есть снова неособенная матрица, роль нейтрального элемента играет единичная матрица и для каждой неособенной матрицы существует обратная, тоже неособенная. Допустим, что дана некоторая группа Матрицы Поставив в соответствие каждому элементу группы Зная одно представление группы группы
Представления, получающиеся этим способом из данного представления путем выбора различных матриц Р, называются эквивалентными данному представлению. В теории представлений эквивалентные представления не считаются существенно различными, все представления рассматриваются обычно лишь с точностью до эквивалентности. Другим способом нахождения новых представлений является прямое сложение представлений, заключающееся в следующем: пусть
Учитывая правила перемножения матриц (см. главу XVI), имеем
т. е. указанное отображение снова является представлением группы
которое, однако, эквивалентно старому. Поэтому, если эквивалентные представления не различать, то сложение представлений будет коммутативной операцией. Легко видеть, что при том же условии сложение будет и ассоциативной операцией. Имея некоторый запас представлений Например, числа
Преобразуя его при помощи матрицы
Интересно отметить, что все матрицы этого представления действительны. Допустим, что все матрицы некоторого представления степени
где
Если во всех матрицах В теории групп доказывается, что всякое представление конечной группы внолне приводимог. Отсюда следует, что для нахождения всех представлений конечной группы достаточно знать ее неприводимые представления, так как все остальные эквивалентны различным суммам неприводимых. Практическое вычисление неприводимых представлений какой-либо конечной группы является, обычно, довольно сложной задачей, которая в явной форме решена лишь для отдельных классов конечных групп, например, для коммутативных групп, для симметрических групп в некоторых других, хотя с теоретической точки зрения свойства представлений конечных групп изучены довольно подробно. Для каждой конечной группы вводится особое «регулярное» представление, которое строится следующим образом. Пусть
Выбирая какое-либо фиксированное значение для к, составим матрицу степени Можно доказать также, что, изменяя нумерацию элементов группы, мы перейдем к эквивалентному представлению, и, следовательно, с точностью до эквивалептности каждая конечная группа имеет лишь одно регулярное представление. Формулируем вкратце основные теоремы теории представлений конечных групп. Число различных (неэквивалентных) неприводимых представлений конечной группы конечно и равно числу классов сопряженных (см. стр. 280) элементов этой группы. Степени неприводимых представлений обязательно являются делителями порядка группы, причем регулярное представление эквивалентно сумме всех неэквивалентных неприводимых представлений, в которой каждое неприводимое слагаемое повторяется столько раз, какова его степень. Отсюда вытекает следующее интересное соотношение между порядком конечной группы и степенями неприводимых представлений. Обозначим число элементов группы
Поставив каждому элементу группы в соответствие число 1, мы получим тривиальное неприводимое представление степени 1, которым обладает каждая группа. Понимая под в формуле (11) степень именно этого единичного представления, можно формулу (11) переписать в равносильной форме
где Пользуясь тем, что Другцм примером могут служить конечные абелевы группы. Здесь каждый элемент составляет отдельный класс. Поэтому Неприводимые представления абелевых групп иначе называются их характерами. Для всякого представления неабелевой группы характером называется набор так называемых следов (т. е. сумм диагональных элементов) матриц, образующих представление. Характеры конечных групп обладают замечательными свойствами и соотношениями. Исследование представлений и характеров групп обогатило теорию групп интересными общими результатами, нашедшими обширные приложения и в современной теоретической физике.
|
1 |
Оглавление
|