Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫГруппы Ли. Непрерывные группы преобразований.Успех, выпавший на долю теории групп в решении алгебраических уравнений высших степеней, побудил математиков середины прошлого века попытаться применить теорию групп к решению уравнений других видов, в первую очередь к решению дифференциальных уравнений, играющих столь большую роль в приложениях математики. Эта попытка увенчалась успехом. Хотя группы в дифференциальных уравнениях заняли совершенно иное место, нежели в теории алгебраических уравнений, исследования по применениям теории групп к решению дифференциальных уравнений привели к существеннейшему расширению самого понятия группы и созданию новой теории так называемых непрерывных групп и групп Ли, оказавшихся чрезвычайно важными для развития самых разнообразных отделов математики. В то время как группы алгебраических уравнений состоят лишь из конечного числа преобразований, построенные аналогичным образом группы дифференциальных уравнений оказались бесконечными. Кроме того, оказалось, что преобразования, принадлежащие к группе дифференциального уравнения, возможно задать посредством конечной системы параметров, меняя численные значения которых, можно получить все преобразования группы. Пусть, например, все преобразования группы определяются значениями параметров этих преобразований
Группы, элементы которых непрерывно зависят от значений конечной системы параметров, а закон умножения выражается при помощи дважды дифференцируемых функций В первой половине XIX в. в трудах Н. И. Лобачевского была изложена новая геометрическая система, носящая ныне его имя. Примерно в то же время в самостоятельную геометрическую систему выделилась проективная геометрия; несколько позже была создана геометрия Римана. В результате, ко второй половине XIX в. можно было насчитать уже ряд самостоятельных геометрических систем, с различных точек зрения изучавших «пространственные формы действительного мира» (Энгельс). Охватить все эти геометрические системы с единой точки зрения, сохранив при этом важнейшие качественные отличия их, оказалось возможным при помощи теории групп. Рассмотрим взаимно однозначные преобразования совокупности точек какого-либо геометрического пространства, не изменяющие тех основных отношений между фигурами, которые изучаются в данной геометрии. Совокупность этих преобразований составляет группу, называемую обычно группой движений или автоморфизмов данной геометрии. Группа движений вполне характеризует данную геометрию, так как если группа движений известна, то соответствующая геометрия может рассматриваться как наука, изучающая те свойства совокупностей точек, которые остаются неизменными при преобразованиях данной группы. Метод классификации различных геометрических систем по их группам движений был выдвинут во второй половине прошлого века в работах Ф. Клейна. Об этом методе и различных геометрических системах было рассказано в главе об абстрактных пространствах. Здесь же мы только отметим, что группы движений всех фактически изучавшихся в прошлом веке геометрических систем оказались группами Ли. В силу этого задача изучения групп Ли приобрела особую важность. Благодаря обилию связей с самыми различными областями математики и механики, теория групп Ли энергично развивалась от своего основания вплоть до наших дней. При этом оказалось, что некоторые вопросы, не решенные для конечных групп и в настоящее время, были сравнительно быстро разрешены для групп Ли. Так, задача классификации простых конечных групп (т. е. конечных групп, не имеющих нетривиальных инвариантных подгрупп) остается до сих пор мало продвинутой, а соответствующая классификация простых групп Ли была получена Киллингом и Картаном еще в конце прошлого века. Развивая теорию групп Ли, советские математики В. В. Морозов, А. И. Мальцев, Е. Б. Дынкин нашли полное решение важной проблемы классификации простых подгрупп групп Ли, долгое время ожидавшей своего решения. В ином направлении развивалась теория групп Ли советскими математиками И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком, нашедшими так называемые неприводимые представления простых групп Ли унитарными преобразованиями гильбертова пространства; последняя задача представляет особый интерес для анализа и физики. Изучение групп Ли осуществляется посредством своеобразного аппарата так называемых «инфинитезимальных групп», или алгебр Ли. Более подробно они будут рассмотрены в § 13.
|
1 |
Оглавление
|