Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

Группы Ли. Непрерывные группы преобразований.

Успех, выпавший на долю теории групп в решении алгебраических уравнений высших степеней, побудил математиков середины прошлого века попытаться применить теорию групп к решению уравнений других видов, в первую очередь к решению дифференциальных уравнений, играющих столь большую роль в приложениях математики. Эта попытка увенчалась успехом. Хотя группы в дифференциальных уравнениях заняли совершенно иное место, нежели в теории алгебраических уравнений, исследования по применениям теории групп к решению дифференциальных уравнений привели к существеннейшему расширению самого понятия группы и созданию новой теории так называемых непрерывных групп и групп Ли, оказавшихся чрезвычайно важными для развития самых разнообразных отделов математики.

В то время как группы алгебраических уравнений состоят лишь из конечного числа преобразований, построенные аналогичным образом группы дифференциальных уравнений оказались бесконечными. Кроме того, оказалось, что преобразования, принадлежащие к группе дифференциального уравнения, возможно задать посредством конечной системы параметров, меняя численные значения которых, можно получить все преобразования группы. Пусть, например, все преобразования группы определяются значениями параметров ат. Придавая этим параметрам значения мы получим некоторое преобразование X; придавая тем же параметрам новые значения получим другое преобразование По условию произведение

этих преобразований входит в группу и, значит, получается при определенных новых значениях параметров Значения будут зависеть от , т. е. будут некоторыми функциями от них

Группы, элементы которых непрерывно зависят от значений конечной системы параметров, а закон умножения выражается при помощи дважды дифференцируемых функций называются группами Ли, по имени норвежского математика Софуса Ли, впервые исследовавшего эти группы.

В первой половине XIX в. в трудах Н. И. Лобачевского была изложена новая геометрическая система, носящая ныне его имя. Примерно в то же время в самостоятельную геометрическую систему выделилась проективная геометрия; несколько позже была создана геометрия Римана. В результате, ко второй половине XIX в. можно было насчитать уже ряд самостоятельных геометрических систем, с различных точек зрения изучавших «пространственные формы действительного мира» (Энгельс). Охватить все эти геометрические системы с единой точки зрения, сохранив при этом важнейшие качественные отличия их, оказалось возможным при помощи теории групп.

Рассмотрим взаимно однозначные преобразования совокупности точек какого-либо геометрического пространства, не изменяющие тех основных отношений между фигурами, которые изучаются в данной геометрии. Совокупность этих преобразований составляет группу, называемую обычно группой движений или автоморфизмов данной геометрии. Группа движений вполне характеризует данную геометрию, так как если группа движений известна, то соответствующая геометрия может рассматриваться как наука, изучающая те свойства совокупностей точек, которые остаются неизменными при преобразованиях данной группы. Метод классификации различных геометрических систем по их группам движений был выдвинут во второй половине прошлого века в работах Ф. Клейна. Об этом методе и различных геометрических системах было рассказано в главе об абстрактных пространствах. Здесь же мы только отметим, что группы движений всех фактически изучавшихся в прошлом веке геометрических систем оказались группами Ли. В силу этого задача изучения групп Ли приобрела особую важность.

Благодаря обилию связей с самыми различными областями математики и механики, теория групп Ли энергично развивалась от своего основания вплоть до наших дней. При этом оказалось, что некоторые вопросы, не решенные для конечных групп и в настоящее время, были сравнительно быстро разрешены для групп Ли. Так, задача классификации простых конечных групп (т. е. конечных групп, не имеющих нетривиальных инвариантных подгрупп) остается до сих пор мало продвинутой, а соответствующая классификация простых групп Ли была получена Киллингом и Картаном еще в конце прошлого века. Развивая теорию групп Ли, советские математики В. В. Морозов, А. И. Мальцев, Е. Б. Дынкин нашли полное решение важной проблемы классификации простых подгрупп групп Ли, долгое время ожидавшей своего решения. В ином направлении развивалась теория групп Ли советскими математиками И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком, нашедшими так называемые неприводимые представления простых групп Ли унитарными преобразованиями гильбертова пространства; последняя задача представляет особый интерес для анализа и физики.

Изучение групп Ли осуществляется посредством своеобразного аппарата так называемых «инфинитезимальных групп», или алгебр Ли. Более подробно они будут рассмотрены в § 13.

1
Оглавление
email@scask.ru