Гильбертово пространство.

Мы рассмотрим здесь одно из наиболее распространенных и важных для приложений понятий бесконечномерного пространства, а именно понятие гильбертова пространства.

Вектор -мерного пространства определялся как совокупность чисел где меняется от 1 до Аналогично, вектор бесконечномерного пространства определяется как функция где х меняется от а до

Сложение векторов и умножение вектора на число определяется как сложение функций и умножение функции на число.

Длина вектора в -мерном пространстве определялась формулой Так как для функций роль суммы играет интеграл, то длина вектора гильбертова пространства задается формулой

Расстояние между точками в -мерном пространстве определяется как длина вектора , т. е. как Аналогично стояние» между элементами в функциональном пространстве равно .

Выражение называется средним квадратичным уклонением функций Таким образом, за меру расстояния двух элементов гильбертова пространства принимается их среднее квадратичное уклонение.

Перейдем к определению угла между векторами. В -мерном пространстве угол между векторами определяется формулой

В бесконечномерном пространстве суммы заменяются соответствующими интегралами и угол между двумя векторами гильбертова пространства будет определяться аналогичной формулой

Такое выражение можно считать косинусом некоторого угла если стоящая справа дробь по абсолютной величине меньше единицы, т. е. если

Это неравенство действительно имеет место для любых двух функций Оно играет важную роль в анализе и носит название неравенства Коши — Буняковского. Докажем его.

Пусть две функции, нетождественно равные нулю, заданные на интервале Возьмем произвольные числа , и составим выражение

Так как функция стоящая под знаком интеграла, неотрицательна, то имеет место неравенство

т. е.

Введем для краткости обозначения

В этих обозначениях неравенство перепишется следующим образом:

Это неравенство остается справедливым для любых значений X и в частности, мы можем положить

Подставив эти значения X и в неравенство (9), получаем

Заменяя А, В и С их выражениями по формуле (8), прлучаем окончательно неравенство Коши — Буняковского.

В геометрии скалярное произведение векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Длины векторов в нашем случае равны

а косинус угла между ними определяется формулой

Перемножая эти выражения, мы приходим к следующей формуле для скалярного произведения двух векторов гильбертова пространства:

Из этой формулы видно, что скалярное произведение вектора на себя есть квадрат его длины.

Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то это значит, что , т. е. приписанный им нашим определением угол равен 90°. Поэтому функции для которых

называются ортогональными.

В гильбертовом пространстве, как и в -мерном, справедлива теорема Пифагора (см. § 1). Пусть представляют собой попарно ортогональных функций, а

их сумму. Тогда квадрат длины равен сумме квадратов длин

Так как длины векторов в гильбертовом пространстве задаются при помощи интегралов, то теорема Пифагора в этом случае выражается формулой

Доказательство этой теоремы ничем не отличается от изложенного выше доказательства той же теоремы в -мерном. пространстве.

Мы не уточнили до сих пор, какие именно функции следует считать векторами гильбертова пространства. В качестве таких функций следует взять все функции, для которых имеет смысл интеграл Казалось бы естественным ограничиться непрерывными функциями, для

которых заведомо всегда существует. Однако наибольшую законченность и естественность теория гильбертова пространства получает, если интеграл понимать в обобщенном смысле, а именно в смысле так называемого интеграла Лебега (см. главу XV).

Это расширение понятия интеграла (и соответственно — класса рассматриваемых функций) необходимо для функционального анализа так же, как для обоснования дифференциального и интегрального исчисления необходима строгая теория действительных чисел. Таким образом, созданное в начале XX в. в связи с развитием теории функций действительного переменного обобщение обычного понятия интеграла оказалось весьма существенным для функционального анализа и связанных с ним разделов математики.