§ 4. РЕАЛЬНЫЙ СМЫСЛ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

1. Наглядное истолкование геометрии Лобачевского было получено впервые в 1868 г., когда итальянский геометр Бельтрами заметил, что внутренняя геометрия на некоторой поверхности — псевдосфере — совпадает с геометрией на куске плоскости Лобачевского. Напомним, что под внутренней геометрией поверхности понимают ту совокупность свойств фигур на ней, которые определяются только лишь измерением длин на самой поверхности. На рис. 10 слева изображена так называемая трактриса. Это кривая, обладающая тем свойством, что длина отрезка ее касательной от точки касания до пересечения с осью для всех точек кривой постоянна. Ось ее асимптота. Вращая трактрису

вокруг ее асимптоты, мы получаем изображенную на рис. 10 справа поверхность, которая и называется псевдосферой.

Истолкование геометрии Лобачевского по Бельтрами сводится к тому, что все геометрические соотношения на куске плоскости Лобачевского совпадают с геометрическими соотношениями на подходящем куске псевдосферы, если принять следующие условия. Роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии на поверхности — геодезические. Расстояние между точками определяется как длина наиболее короткой линии, соединяющей их на поверхности.

Рис. 10.

Фигуры считаются равными, если можно так сопоставить их точки, что внутренние расстояния между соответственными точками будут равны. Перемещение фигур на псевдосфере, сохраняющее их размеры с точки зрения внутренней геометрии, хотя и сопровождается изгибанием, изображает движение в плоскости Лобачевского. Длины, углы и площади измеряются на поверхности, как обычно и отвечают длинам, углам и площадям в геометрии Лобачевского.

Истолкование Бельтрами показывает, что при этих условиях, каждому утверждению геометрии Лобачевского, относящемуся к куску плоскости, отвечает непосредственный факт внутренней геометрии псевдосферы. Геометрия Лобачевского имеет стало быть совершенно реальный смысл: она есть не что иное, как абстрактно изложенная геометрия на псевдосфере.

Нужно сказать, что внутреннюю геометрию псевдосферы за 30 лет до открытия Бельтрами уже исследовал Ф. Миндинг, который фактически установил свойства, показывающие ее совпадение с геометрией

Лобачевского. Однако этого ни он, ни кто-либо другой не заметил, пока идеи Лобачевского не получили достаточного распространения. Бельтрами оставалось только сопоставить выводы Лобачевского и Миндинга, чтобы увидеть их связь.

Открытие Бельтрами сразу изменило отношение математиков к геометрии Лобачевского; из «воображаемой» она стала реальной.

2. Однако, как было подчеркнуто, на псевдосфере реализуется геометрия не всей плоскости Лобачевского, а лишь ее куска. Поэтому оставалась еще не решенной задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского на всей плоскости и тем более в пространстве. Эта задача и была вскоре, в 1870 г., разрешена немецким математиком Клейном. Изложим, в чём состояло данное им решение.

Возьмем на обычной эвклидовой плоскости круг и будем рассматривать лишь внутренность этого круга, т. е. исключим из рассмотрения его окружность и область вне круга. Эту внутренность круга назовем условно «плоскостью» — она, оказывается, и будет играть роль плоскости Лобачевского. Хорды нашего круга назовем «прямыми», причем согласно принятому условию концы хорд как лежащие на окружности исключаются. Наконец, назовем «движением» любое такое преобразование круга, которое переводит его самого в себя и оставляет прямые прямыми, т. е. не искривляет его хорд. Простейшим примером

такого преобразования служит вращение круга вокруг центра, но оказывается, что таких преобразований гораздо больше. Каковы эти преобразования, будет сказано дальше.

Если ввести такие условные обозначения, то оказывается, что факты обычной геометрии внутри нашего круга превращаются в теоремы геометрии Лобачевского. И обратно: всякая теорема геометрии Лобачевского истолковывается как факт обычной геометрии внутри круга.

Например, по аксиоме Лобачевского через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Переводим эту аксиому на язык обычной геометрии согласно принятому условию, т. е. заменяя прямые хордами. Тогда мы получим утверждение: через точку внутри круга, не лежащую на данной хорде, можно провести по крайней мере две хорды, не пересекающие данную. Справедливость этого утверждения очевидна из рис. 11. Следовательно, аксиома Лобачевского здесь выполняется.

Вспомним далее, что в геометрии Лобачевского среди прямых, проходящих, через данную точку и не пересекающих данную прямую, есть две крайние, — те, которые по Лобачевскому только и называются параллельными данной прямой. Это означает, что среди хорд, проходящих через данную точку Л и не пересекающих данную хорду есть две крайние хорды. И действительно, такими крайними хордами будут хорды, подходящие одна к точке В, другая — к точке С. Они ведь не имеют с хордой общих точек, поскольку точки, лежащие на окружности, мы исключаем. Таким образом, эта теорема Лобачевского здесь выполняется.

Для дальнейшего перевода теорем Лобачевского на язык обычной геометрии внутри круга необходимо выяснить, как должны измеряться в круге отрезки и углы, чтобы это измерение отвечало геометрии Лобачевского. Конечно, это измерение не будет совпадать с обычным, потому что в обычном смысле хорда имеет конечную длину, а прямая, которую изображает хорда, бесконечна. В этом можно было бы даже усмотреть некоторое противоречие, но мы увидим, что никакого противоречия тут нет.

Прежде всего вспомним, что измерение длин отрезков производится следующим образом. Выбирается какой-либо отрезок длина которого принимается равной единице, и Длина любого другого отрезка определяется сравнением его с отрезком При этом отрезок откладывается вдоль отрезка Если остается еще доля отрезка меньшая АВ, то отрезок делят, например, на 10 равных частей (равных в том смысле, что каждая получается из другой движением); эти доли откладывают на оставшейся части отрезка потом, если нужно, делят отрезок на 100 частей и т. д. В результате длина отрезка выразится в виде десятичной дроби, которая может быть и бесконечной. Стало быть, измерение длины производится путем передвижения

движения целого или части отрезка, принятого за единицу, т. е. измерение основано на движении. А раз движения уже определены (мы определили их в данном случае как преобразования круга, переводящие прямые в прямые), то тем самым известно, какие отрезки считаются равными и как нужно измерять длину. Словом, определение движения уже включает, хотя и в неявном виде, закон измерения длин. Совершенно так же углы измеряют откладыванием угла, принятого за единицу. Таким образом, закон измерения углов также содержится в определении движения.

Законы измерения длин и углов, отвечающие геометрии Лобачевского, получаются довольно простыми, хотя и существенно отличными от обычных.

Рис. 11.

Рис. 12.

Приводить их вывод мы не будем, так как это не имеет в наших рассуждениях принципиального значения.

Закон измерения длин оказывается таким, что хорда имеет бесконечную длину. И это потому, что если путем преобразования, принятого нами за движение, перевести отрезок в отрезок далее в отрезок ВУВ и т. то получаемые отрезки будут становиться в обычном смысле все короче (хотя и будут равными в смысле нашей модели геометрии Лобачевского; рис. 12). Точки будут сгущаться к концу хорды. Но хорда у нас не имеет конца: конец ее по условию исключен, и она в этом смысле «бесконечна». В смысле геометрии Лобачевского точки никуда не будут сгущаться, они будут уходить в бесконечность. Путем преобразования, принятого нами за движение, откладывая друг за другом равные отрезки, нельзя изнутри круга достигнуть его окружности.

Для того чтобы лучше понять, как в модели откладывают отрезок, рассмотрим то преобразование, которое играет роль переноса вдоль прямой.

Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты с началом в центре круга. Для определенности будем считать, что наш круг имеет радиус, равный единице, так что его окружность представляется уравнением а точки внутри круга удовлетворяют неравенству

Рассмотрим преобразование, заданное формулами

где — координаты точки, в которую переходит после преобразования точка, первоначально имевшая координаты , а — любое данное число, по абсолютной величине меньше единицы.

Если из формул (3) найти х и у, то получим, как легко проверить, обратное выражение через

Преобразование (3) удовлетворяет двум условиям для «движений» в нашей модели: 1) оно переводит круг сам в себя; 2) оно переводит прямые в прямые.

Для доказательства первого свойства надо, собственно говоря, убедиться, что неравенство или равенство влечет за собой соответствующее соотношение и обратно. Покажем, например, что при обязательно и т. е. что точки, лежавшие на окружности данного круга, остаются снова на ней.

Вычисляем пользуясь формулами (3) и считая

Следовательпо, при также Аналогично проверяются остальные случаи.

Второе свойство преобразования (3) устанавливается столь же просто. В самом деле, мы знаем, что всякая прямая представляется линейным уравнением, и, обратно, всякое линейное уравнение представляет прямую. Пусть дана прямая

После преобразования (4) получим

или, приводя к общему знаменателю,

Это уравнение линейное и, стало быть, представляет прямую. Это и есть та прямая, в которую при преобразовании переходит прямая (5).

Отметим еще, что преобразование (3) переводит ось саму в себя, вызывая лишь смещение точек вдоль нее. Это ясно, так как на этой оси а по формуле (3) тогда также . На оси преобразование задается одной формулой

На этой прямой отрезок хххг переходит в отрезок по формуле (3), и по условию эти отрезки считаются равными. Так и происходит «откладывание отрезка».

Для центра О круга и, соответственно, т. е. при преобразовании (3) центр переходит в точку А с координатой

Так как а можно задать любое, лишь бы было то центр можно перевести в любую точку на диаметре вдоль оси

При том же преобразовании точка, ранее находившаяся в А, перейдет в точку с координатой

Таким образом, отрезок при преобразовании (3) переходит в отрезок — происходит «откладывание» этого отрезка на «прямой» изображаемой диаметром круга.

Повторяя то же преобразование, мы можем отложить тот же отрезок дальше сколько угодно раз. Точка с координатой будет переходить в точку с координатой

Так мы будем получать точки с координатами

Поскольку все отрезки получаются из ОА преобразованием, изображающим движение, все они «равны» между собою — равны в смысле геометрии Лобачевского как она изображается на модели,

Легко доказать, что точки сгущаются к концу диаметра. В смысле модели они удаляются в бесконечность.

Так как оси можно придать любое направление, то такие же преобразования сдвига возможны вдоль любого диаметра. Комбинируя их с вращениями вокруг центра круга и отражениями в диаметре, получим все «движения», как они понимаются на модели; они составляются из сдвигов, вращений и отражений. Подробнее эти преобразования будут рассмотрены в следующем параграфе, где будет строго доказано, что действительно в нашей модели выполняется геометрия Лобачевского и что, в частности, преобразования, принятые за движения, удовлетворяют всем условиям (аксиомам), каким подчиняются движения в геометрии.

Повторим снова, какую же модель геометрии Лобачевского предложил Клейн. За плоскость принимается внутренность круга; точкой считается точка, прямой — хорда (концы исключены), движением считается преобразование, переводящее круг сам в себя и хорды в хорды; расположение точек (точка лежит на прямой; точка лежит между двумя другими) понимается с обычном смысле. Закон измерения длин и углов (а также и площадей) уже вытекает из того, что движение определено, и тем самым определено равенство отрезков и углов (и любых фигур), и тем же определена операция откладывания одного отрезка вдоль другого. При всех этих условиях всякой теореме геометрии Лобачевского на плоскости соответствует факт эвклидовой геометрии внутри круга, и обратно: всякий такой факт пересказывавши в виде теоремы геометрии Лобачевского.

Рис. 13.

Совершенно аналогично строится модель геометрии Лобачевского в пространстве. За пространство принимается внутренность какого-либо шара (рис. 13), прямой считается хорда, плоскостью — круг с окружностью на поверхности шара, причем самая поверхность шара, а значит, концы хорд и окружности названных кругов исключаются наконец, движение определяется как преобразование шара самой в себя, переводящее хорды в хорды.

Когда эта модель геометрии Лобачевского была дана, было установлено тем самым, что эта геометрия имеет простой реальный смысл Геометрия Лобачевского истинна уже потому, что может быть понимаема как особое изложение геометрии в круге или в шаре. Этим же была доказана ее непротиворечивость: выводы ее не могут приводит к противоречию, так как всякий ее вывод можно пересказать на языке

обычной эвклидовой геометрии внутри круга (или внутри шара, если речь идет о геометрии Лобачевского в пространстве).

3. После Клейна другую модель геометрии Лобачевского дал французский математик Пуанкаре, который применил ее к выводу важных результатов в теории функций комплексной переменной. Таким образом, в его руках геометрия Лобачевского привела к решению трудных проблем из совсем другой области математики. Геометрия Лобачевского нашла ряд других приложений в математике и теоретической физике; так, например, в 1913 г., физик Варичак дал ее применения в теории относительности.

Геометрия Лобачевского успешно развивается, в ней разрабатывается теория геометрических построений, общая теория кривых и поверхностей, теория выпуклых тел и др.