Алгебра векторов.

Хотя действия с кватернионами во многом сходны с действиями над комплексными числами, все же отсутствие переместительного закона для умножения делает свойства кватернионов глубоко отличными от свойств чисел. Например, из алгебры комплексных чисел хорошо известно, что квадратное уравнение имеет два корня. Если же мы будем рассматривать хотя бы квадратное уравнение

в области кватернионов, то найдем сразу 6 его корней: а более точный анализ показывает, что имеется еще бесчисленное множество других решений. Это обстоятельство сильно затрудняет использование кватернионов в математике, и, несмотря на многочисленные попытки Гамильтона и других математиков ввести кватернионы в различные отделы математики и физики, роль кватернионов остается до сих пор в математике относительно скромной и ни в какой мере несравнимой с ролью комплексных чисел.

Однако кватернионы дали толчок развитию векторной алгебры, являющейся незаменимым средством в современной технике и физике. Дело в том, что в механике и физике существенную роль играют понятия скорости, ускорения, силы и т. д., для характеристики которых нужны три числа. Выше мы видели, что каждый кватернион может быть рассматриваем как совокупность действительного числа а и векторной части . Поскольку векторная часть кватерниона определяется тремя числами, для характеристики важнейших физических величин достаточно уже векторных частей кватернионов.

Геометрически векторную часть кватерниона принято изображать вектором, выходящим из начала прямоугольной декартовой системы координат, проекции которого на оси координат соответственно равны числам . Поэтому произвольный кватернион геометрически можно представлять как совокупность числа и вектора в пространстве. Посмотрим, какое истолкование при этом получат действия с кватернионами.

Возьмем два векторных кватерниона скалярная часть которых равна нулю. Геометрически ониизобразятся векторами, выходящими из начала координат. Сумма этих кватернионов будет снова векторным кватернионом . Легко видеть, что вектор, изображающий эту сумму, будет диагональю параллелограма, построенного на первых двух векторах. Таким образом, сложению векторных кватернионов отвечает хорошо известная операция сложения векторов по правилу параллелограма. Аналогично, если умножить векторный кватернион на какое-либо действительное число, то изображающий кватернион вектор в результате также умножится на это число.

С иным положением мы сталкиваемся при перемножении кватернионов. Действительно,

т. e., перемножая два векторных кватерниона, мы получаем полный кватернион, имеющий скалярную часть и векторную часть.

Скалярная часть произведения векторных кватернионов, взятая с обратным знаком, называется скалярным произведением векторов,

изображающих данные кватернионы, а вектор, изображающий векторную часть произведения, — векторным произведением указанных векторов. Скалярное произведение - векторов а и обозначается обычно через или просто а векторное произведение тех же векторов через Пусть — векторы, отвечающие кватернионам , т. е. векторы единичной длины, отложенные вдоль соответственных осей координат. Согласно определению, если

то

При помощи последних формул легко дать и геометрическое истолкование скалярному и векторному произведениям векторов. Оказывается, скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, а векторное произведение двух векторов есть вектор, по длине равный площади параллелограма, построенного на данных векторах, и направленный перпендикулярно площадке указанного параллелограма в ту сторону, откуда вращение от первого данного вектора ко второму кажется совершающимся в ту же сторону, что и вращение от оси к оси если смотреть со стороны оси

В настоящее время в механике и физике не употребляются, как правило, действия с кватернионами, а вместо них рассматриваются лишь действия над векторами, причем эти действия определяются чисто геометрическим способом, следуя сформулированным только что результатам.

В заключение укажем одну задачу из механики, решаемую при помощи кватернионов особенно красиво. Решение ее собственно и послужило одной из причин открытия кватернионов.

Пусть твердое тело сначала поворачивается на некоторый угол в заданном направлении около определенной оси ОА, проходящей через заданную точку О, после чего поворачивается на угол , около другой оси проходящей через ту же точку. Спрашивается, около какой оси и на какой угол следует повернуть тело, чтобы оно из первого положения сразу перешло в третье? Это известная задача механики о сложении конечных поворотов. Правда, она может быть решена средствами обычной аналитической геометрии, что и было сделано еще Эйлером в XVIII в. Однако гораздо более прозрачную форму имеет ее решение при помощи кватернионов.

Пусть — два кватерниона, из которых первый мы будем считать переменным, а второй заданным. Выражение как легко проверить вычислением, будет векторным кватернионом. Если теперь кватернионы X, и векторную часть кватерниона а изобразить векторами а, то окажется, что вектор

тор геометрически получается из вектора поворотом вокруг оси, проходящей через вектор а, на угол , определяемый формулой Поэтому можно считать, что кватернион изображает поворот пространства на угол вокруг

Обратно, зная ось поворота и угол , можно искать кватернион, изображающий этот поворот. Таких кватернионов оказывается бесконечное множество, но все они отличаются друг от друга лишь численным множителем.

Рассмотрим теперь еще один поворот на угол вокруг некоторой оси . Пусть этот поворот изображается кватернионом Под воздействием первого поворота произвольный вектор перейдет в вектор а под воздействием второго поворота этот последний вектор перейдете На основании закона ассоциативности последний результат можно представить в форме

Поскольку умножение вектора, т. е. векторного кватерниона на кватернион слева и кватернион справа равносильно повороту этого вектора на соответствующий угол вокруг соответствующей оси, мы приходим к выводу, что результат двух последовательных поворотов, характеризующихся кватернионами а и (3, есть поворот, характеризующийся произведением Иными словами, сложению поворотов отвечает перемножение соответствующих им кватернионов.

Помимо геометрических и физических приложений, кватернионы нашли замечательные приложения и в теории чисел. Из последующих работ в этой области следует отметить в особенности работы Ю. В. Линнпка.