Действительные числа.

Мы пришли к выводу, что одних рациональных чисел для измерения величин недостаточно и что понятие числа должно быть расширено таким образом, чтобы между числами и точками на прямой существовало взаимно однозначное соответствие. С этой целью постараемся выяснить, нельзя ли определить положение произвольной точки на прямой при помощи одних лишь рациональных точек. Аналогичная конструкция в области рациональных чисел и приведет нас к понятию действительного числа.

Пусть произвольная точка на прямой. Тогда все рациональные точки а можно разделить на две части: к одной части отнесем все те точки а, которые расположены левее а к другой — те точки а, которые находятся правее Что же касается самой точки а (если она случайно оказалась рациональной), то ее можно отнести к любой из частей. Такое разбиение рациональных точек принято называть сечением. Сечения будем считать тождественными, если совокупности рациональных точек, входящих в левые и правые части сечений, совпадают (с точностью до одной точки). Теперь нетрудно видеть, что различные точки определяют разные сечения. В самом деле, так как рациональные точки расположены на прямой всюду плотно, то найдутся рациональные точки и расположенные строго между . Тогда для одного сечения они попадут в его правую часть, а для другого — в левую.

Итак, каждая точка на прямой определяет сечение в области рациональных точек и разным точкам соответствуют разные сечения. Очень важно, что сечения можно определить и несколько иначе, чем это было сделано выше, и притом так, чтобы само число а не фигурировало в этом определении. Именно, будем называть сечением в области рациональных точек такое разбиение всех рациональных точек на два непустых непересекающихся множества А и В, таких, что для любых При таком определении но сечению можно однозначно восстановить ту точку (рубеж), которая производит его. Иными словами, при помощи сечений в области рациональных точек можно определить [любую точку на прямой. Изложенная конструкция была предложена немецким математиком Р. Дедекиндом и носит название дедекиндова сечения.

Сечения — не единственный возможный способ определения положения любой точки при помощи рациональных точек. К обычной практике измерений ближе лежит следующий способ Г. Кантора. Пусть снова произвольная точка на прямой. Тогда можно найти две сколь угодно близкие рациональные точки а и такие, что а заключено между а и . Точки а и определяют приближенно положение точки Представим себе этот процесс приближенного определения точки неограниченно продолженным, и притом так, что на каждом следующем шаге его точность все более и более увеличивается. Тогда мы получим систему отрезков с концами в рациональных точках, таких, что Система отрезков, удовлетворяющая этим условиям, называется стягивающейся системой отрезков. Ясно, что такая система отрезков однозначно определяет положение точки

При помощи аналогичных построений в области рациональных чисел можно определить действительные числа. Далее определяются действия между действительными числами и устанавливается, что они удовлетворяют тем же аксиомам, что и действия над рациональными числами. Теперь уже каждой точке на прямой соответствует действительное число и обратно. В силу этого совокупность всех действительных чисел часто называют числовой прямой.