§ 3. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Умножение преобразований.

Изучая свойства преобразований, легко заметить, что некоторые преобразования можно составить из нескольких других. Так, винтовые движения составляются из поворотов вокруг оси и сдвигов вдоль оси. Этот процесс составления новых преобразований из заданных носит название умножения преобразований. Производя над произвольным элементом х множества М какое-либо преобразование А и затем к новому элементу применяя преобразование В, получим элемент . Преобразование, переводящее х непосредственно в называется произведением преобразования А на В и обозначается через Следовательно, по определению, имеем

Пример:

Действительно, первая подстановка переводит 1 в 2, а вторая 2 переводит в 4, поэтому результирующая подстановка должна переводить 1 в 4 и т. д. Вот еще несколько примеров:

Последние два примера показывают, что умножение преобразований есть, как говорят, действие некоммутативное: его результат зависит от порядка сомножителей. Это же легко подтверждается и для умножения движений плоскости. Пусть, например, А есть поворот плоскости на 90° вокруг начала перенос вдоль оси на единицу.

Рис. 9.

Посмотрим, во что переводят преобразования точку О. По определению, имеем (рис. 9)

Чтобы ближе выяснить геометрическую природу преобразования В А, рассмотрим точку Р. Имеем

т. е. точка Р остается при преобразовании неподвижной. Исходя из этого, легко показать, что есть просто поворот плоскости на 90° вокруг точки Р. Аналогично

и есть поворот плоскости на 90° вокруг точки

Умножение движений плоскости или пространства происходит в общем случае по довольно сложным законам. Однако в двух важных случаях законы умножения очень просты. Во-первых, если умножаются повороты плоскости вокруг одной и той же точки или повороты пространства вокруг одной и той же прямой на углы то результирующее преобразование будет соответственным поворотом на угол Во-вторых, если умножаются переносы, характеризуемые векторами

то произведение будет также переносом, характеризуемым вектором т. е. суммой первоначальных векторов.

Сам термин «умножение» преобразований вызван некоторой аналогией между умножением чисел и умножением преобразований. Однако эта аналогия неполная. Так, при умножении чисел имеет место коммутативный (переместительный) закон. Мы уже видели, что при умножении преобразований этот закон может быть нарушен. Второй же основной закон арифметики — сочетательный закон (ассоциативность) умножения — в полной мере сохраняется для преобразований Именно, для любых преобразований А, В, С множества М имеет место равенство

В самом деле, если — произвольный элемент из М, то

Ассоциативный закон позволяет вместо произведений преобразований говорить лишь об одном произведении . Этот же закон показывает, что и произведение четырех и более преобразований не зависит от расстановки скобок.

Далее, среди преобразований имеется преобразование, играющее роль числа 1, это — тождественное или единичное преобразование Е, которое оставляет каждый элемент множества М неизменным. Ясно, что каково бы ни было преобразование А.

Отметим еще следующий важный факт: произведение взаимно однозначных преобразований есть преобразование взаимно однозначное. В самом деле, чтобы найти элемент х множества М, который произведением А В переводится в данный элемент а, достаточно найти элемент переводимый преобразованием В в а, и затем найти элемент переводимый преобразованием А в Так как то и будет искомым элементом х.

Произведение преобразования А на обратное преобразование есть единичное преобразование, т. е.

Это непосредственно следует из определения обратного преобразования.

Рассмотренный выше пример умножения переноса плоскости на поворот показывает, что свойства произведения преобразований не всегда легко усмотреть, исходя из свойств сомножителей. Однако произведение преобразойаний вида представляет важное исключение: свойства С здесь очень просто связаны со свойствами А и В. Именно, если элемент множества М преобразованием А переводится в то «сдвинутый» посредством преобразования В элемент преобразованием С переводится в «сдвинутый» элемент

Доказательство:

Преобразование называют полученным из А путем преобразования его при помощи В или сопряженным с А посредством В.

Преобразуем, например, поворот плоскости около точки О при помощи переноса V. Согласно приведенному правилу, чтобы найти пары начальных и конечных положений точек для преобразованного движения надо сдвинуть при помощи V соответственные пары точек для преобразования Так как точка О при повороте отвечает самой себе (рис. 10), то и точка относительно преобразования С отвечает самой себе. Далее, если точка М переводится преобразованием Р в точку то сдвинутая точка будет переводиться преобразованием С в точку Из рис. 10, таким образом, видно, что преобразование С будет поворотом точки на тот же угол , что и поворот Р.

Рис. 10.

Аналогично может быть доказано, что если перенос плоскости, характеризуемый вектором преобразовать посредством поворота на угол , то получится снова перенос плоскости, характеризуемый повернутым вектором.

Указанное выше правило для отыскания преобразования весьма изящно формулируется также в случае, когда преобразования задаются таблицами. Пусть

тогда

т. e. чтобы преобразовать подстановку А при помощи подстановки В, нужно все элементы верхней и нижней строк подстановки А подвергнуть преобразованию, предусмотренному подстановкой В. Например, если

то

Заметим, что хотя в общем случае произведение двух преобразований зависит от порядка сомножителей, в отдельных случаях произведения

ведения АВ и ВА могут быть одинаковыми. Тогда преобразования А и В называются перестановочными или коммутирующими. Если то

Таким образом, преобразование данной подстановки при помощи коммутирующей с ней подстановки не меняет данную подстановку.