Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством последовательного выделения квадратов.

Установим, что любая (действительная) квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов новых переменных с некоторыми коэффициентами посредством действительного неособенного линейного преобразования.

Для доказательства установим прежде всего, что если форма не равна нулю тождественно, то за счет неособенного преобразования переменных можно сделать коэффициент при квадрате первой переменной отличным от нуля.

В самом деле, пусть

Если , то никаких преобразований не требуется. Если но какой-либо из диагональных коэффициентов то положим приравнивая остальные исходные переменные соответствующим

новым. Это неособенное преобразование приведет к цели. Наконец, если все диагональные коэффициенты равны нулю, то хотя бы один недиагональный коэффициент, например отличен от нуля. Сделав неособенное преобразование

и приравняв остальные исходные переменные к новым, мы достигаем цели.

Таким образом, без нарушения общности можно принять Выделим теперь квадрат линейной функции так, чтобы все слагаемые, содержащие вошли в этот квадрат.

Это легко сделать. Действительно,

Раскрыв скобки во втором слагаемом и сделав приведение подобных членов, получим

где есть форма уже от переменных.

Преобразование

очевидно, неособенное. Сделав это преобразование, приведем форму к виду

Продолжая процесс аналогичным образом, мы приведем форму к требуемому «каноническому» виду

Здесь — последние из введенных новых переменных.