Взаимно однозначное соответствие.
Пусть снова М и 
— два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из М и один элемент из 
Тогда, если какому-нибудь элементу из М не найдется парного к нему элемента из 
то в М больше элементов, чем в 
Поясним это рассуждение примером.
Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.
Рассмотрим множество всех натуральных чисел
и множество всех четных чисел
Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.
Таблица 1
Ни один элемент М и ни один элемент 
не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:
Таблица 2
Тогда многие элементы из М остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:
Таблица 3
Теперь многие элементы из М остаются без пар.
Таким образом, если множества А и В бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента А и каждого элемента В имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами А к В можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, между рассмотренными выше множествами М и 
можно установить взаимно однозначное соответствие, как это видно из табл. 1.
Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количества элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из А всегда остаются без пар, то говорят, что множество А содержит больше элементов, чем В, или что множество А имеет ббльшую мощность, чем В.
Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества,
имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.
