§ 2. ПОВЕРХНОСТИ

Как уже упоминалось выше, всякое свойство геометрической фигуры, сохраняющееся при любом ее топологическом преобразовании, называется топологическим свойством. Топология изучает топологические свойства фигур; кроме того, она изучает топологические, а также любые непрерывные преобразования геометрических фигур.

Мы только что привели некоторые примеры топологических свойств. Так, топологическими свойствами являются: свойство замкнутости кривой или поверхности, свойство замкнутой линии быть простой замкнутой линией (т. е. образовывать лишь одну петлю), свойство замкнутой поверхности, состоящее в том, что всякая лежащая на ней замкнутая линия является сечением поверхности (этим свойством шаровая поверхность обладает, а кольцевидная нет), и др.

Рис. 9.

Наибольшее число замкнутых линий, которые можно провести на данной поверхности таким образом, чтобы эти линии не образовывали сечения, т. е. чтобы поверхность не распадалась на части, если по всем этим линиям сделать разрезы, называется порядком связности поверхности. Это число, пожалуй, дает нам самую важную информацию о топологическом устройстве поверхности. Мы видели, что для сферической поверхности оно равно нулю (всякая замкнутая линия на такой поверхности является сечением). На торе можно найти две замкнутые линии, которые в своей совокупности не образуют сечения: за одну из них можно принять любой меридиан, а за другую — параллель тора (рис. 7). Однако на торе невозможно провести три замкнутые линии, которые в своей совокупности не образовывали бы сечения; порядок связности тора равен двум. Порядок связности поверхности кренделя (рис. 9) равен четырем и т. д. Вообще возьмем сферическую поверхность и сделаем в ней круглых отверстия (на рис. 10 изображен случай Эти отверстия распределим в пар и к каждой паре отверстий приклеим (по краям) цилиндрическую трубку («ручку»). Получим сферу с «ручками» или, как говорят, нормальную поверхность рода . Порядок связности этой поверхности равен 2 р.

Все такие поверхности, по выражению Лобачевского, являются «сечениями» пространства: каждая из них разбивает пространство на две

области, внутреннюю и внешнюю, и является совместной границей этих двух областей. Это обстоятельство стоит в связи с другим, а именно с тем, что каждая из наших поверхностей имеет две стороны: внешнюю и внутреннюю (одну сторону можно покрасить в один цвет, а другую — в другой).

Рис. 10.

Однако наряду с этим существуют и так называемые односторонние поверхности, у которых нет этих двух раздельных сторон. Простейшей из них является всем известная «лепта Мёбиуса», получающаяся, если взять прямоугольную полоску бумаги и склеить две противоположные узкие стороны прямоугольника так, чтобы вершина А совпала с вершиной С, а вершина В с вершиной Получится поверхность, изображенная на рис. 11, она и называется лентой или листом Мёбиуса.

Рис. 11.

Нетрудно проверить, что на ней нет двух сторон, которые можно было бы выкрасить в разные цвета: идя по средней линии поверхности и начав свое движение, скажем, в точке Е, мы, обойдя всю поверхность, придем в точку Е, но уже с другой стороны поверхности, хотя и не перейдем при этом через ее край. Кстати, край поверхности Мёбиуса состоит из одной единственной замкнутой линии.

Возникает вопрос, существуют ли замкнутые односторонние поверхности, т. е. односторонние поверхности, не имеющие краев. Оказывается, что существуют, но такие поверхности, как бы мы их ни располагали в трехмерном

пространстве, всегда имеют самопересечения. Типичный пример замкнутой односторонней поверхности изображен на рис. 12 — это так называемый «односторонний тор» или поверхность Клейна. Если, не боясь самопересечений, мыслить себе два экземпляра листа Мёбиуса склеенными по их краям (край листа Мёбиуса, как уже упоминалось, состоит лишь из одного контура), то получится поверхность Клейна.

Теперь мы можем сформулировать основную теорему топологии поверхностей в применении к двусторонним поверхностям: всякая замкнутая двусторонняя поверхность гомеоморфна некоторой нормальной поверхности рода р, т. е. «сфере с ручками»; две замкнутые двусторонние поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда у них один и тот же род (тот же порядок связности ), т. е. когда они гомеоморфны сфере с одним и тем же числом ручек .

Рис. 12.

Для односторонних поверхностей также имеются «нормальные формы», аналогичные нормальным формам двусторонних поверхностей рода , но их труднее себе представить. Для этого надо взять сферу, проделать в ней круглых отверстий и заклеить каждое из них поверхностью Мёбиуса, склеив край этой поверхности с краем соответствующего отверстия. Трудность, возникающая при попытке представить себе такое склеивание, происходит от того, что осуществить его физически нельзя: при попытке такого склеивания возникнут как раз те самопересечения поверхности, которые неизбежны при всяком осуществлении односторонней замкнутой поверхности в виде пространственной модели.

Не следует думать, что замкнутые односторонние поверхности относятся к области математических курьезов, не связанных с серьезными задачами науки. Чтобы убедиться в ошибочности такого мнения, достаточно вспомнить, что одним из основных достижений геометрической мысли явилось создание так называемой проективной геометрии, элементы которой входят в настоящее время в курсы геометрии университетов и педагогических институтов. Практические истоки проективной геометрии лежат в теории перспективы, возникшей еще

в эпоху Возрождения (Леонардо да Винчи) в связи с потребностями архитектуры, живописи и технического проектирования. К XVI—XVII вв. относится открытие первых теорем проективной геометрии. Возникнув, таким образом, в связи с вполне определенными практическими потребностями, проективная геометрия явилась в своем полном развитии одним из значительнейших идейно-теоретических обобщений геометрии. На ее почве, в частности, впервые была до конца понята неэвклидова геометрия Лобачевского

Рис. 13.

Переход от обычной плоскости, как ее изучает элементарная геометрия, к проективной плоскости заключается в пополнении плоскости новыми абстрактными элементами, так называемыми несобственными или «бесконечно удаленными» точками. Только после такого пополнения операция проектирования одной плоскости на другую (например, проектирования на экран посредством проекционного фонаря) становится взаимно однозначным преобразованием одной плоскости в другую. Пополнение плоскости несобственными точками, которому в аналитической геометрии соответствует переход от обыкновенных декартовых координат к однородным координатам, происходит следующим образом. Каждая прямая дополняется одной единственной несобственной («бесконечно удаленной») точкой, причем две прямые тогда и только тогда имеют одну и ту же несобственную точку, когда они параллельны. Пополненная единственной бесконечно удаленной точкой прямая становится замкнутой линией, а совокупность бесконечно удаленных точек всевозможных прямых по определению образует несобственную или бесконечно удаленную прямую.

Так как параллельные прямые имеют общую бесконечно удаленную точку, то для того, чтобы представить себе весь процесс пополнения плоскости несобственными точками, достаточно рассмотреть прямые, проходящие через одну какую-нибудь точку плоскости, например через начало координат О (рис. 13). Несобственные точки этих прямых уже исчерпают все вообще несобственные точки проективной плоскости (так как каждая прямая имеет ту же несобственную точку, что и параллельная ей прямая, проходящая через точку О). Поэтому мы получим «модель» проективной плоскости, рассматривая ее как круг «бесконечно большого» радиуса с центром в О и считая, что любая пара диаметрально противоположив точек А, А окружности этого круга должна быть склеена в одну «бесконечно

удаленную» точку прямой . Сама окружность нашего круга превращается при этом в бесконечно удаленную прямую, но при этом надо твердо помнить, что любые две диаметрально противоположные точки этой окружности должны мыслиться как отождествленные между собой. Отсюда сразу видно, что проективная плоскость есть замкнутая поверхность, никаких краев у нее нет.

Если мы рассмотрим на проективной плоскости кривую второго порядка, которую рисуем в виде гиперболы (см. рис. 13), то ясно, что эта гипербола на проективной плоскости представляет собой замкнутую кривую (лишь разрезанную на две ветви бесконечно удаленной прямой). Имея в виду, что диаметрально противоположные точки окружности нашего основного круга склеены между собой, мы без труда убеждаемся, что заштрихованная на рис. 13 внутренность нашей гиперболы гомеоморфна внутренности обыкновенного круга, а дополнительная, незаштрихованная часть проективной плоскости гомеоморфна ленте Мёбиуса. Таким образом, проективная плоскость с топологической точки зрения есть результат склеивания круга (в нашем случае — внутренности гиперболы) с листом Мёбиуса по их краю. Отсюда следует, что проективная плоскость, т. е. основной объект изучения плоской проективной геометрии, есть замкнутая односторонняя поверхность.

Пример проективной плоскости, кроме своего большого принципиально геометрического значения, интересен еще и потому, что на нем рельефно выделяется одна особенность современного геометрического мышления, сформировавшегося на основе открытий Лобачевского. Геометрическое мышление всегда, по самому характеру понятия геометрической фигуры, было абстрактпым. Теперь оно поднимается на новую ступень абстракции, проявляющуюся в нашем случае в пополнении обычной плоскости новыми абстрактными элементами — несобственными точками. Конечно, и эти абстрактные элементы отражают реальную действительность (каждая «несобственная точка» есть не что иное, как абстракция пучка параллельных прямых), но входят они в наши рассмотрения как отвлеченные геометрические элементы, которые мы лишь несовершенно можем себе представить в виде результата (физически не осуществимого) «склеивания» диаметрально противоположных точек окружности некоторого круга. Аналогичные абстрактные построения имеют очень большое значение во всей современной топологии, особенно при переходе от поверхностей к многообразиям трех и более измерений.